Anordnungsaxiome bei Ungleichungen. Zeigen, dass z.B. 4) Ist a<=b, so folgt a+c <= b+c c für jedes c€R.

Question

Beweisen sie die folgenden Eigenschaften von <= und >=

1)Ist a <= b und c>= 0, so folgt a*c<= b*c.

2)Ist a<= b und c<=0, so folgt a*c>= b*c.

3)Ist a>=b und c>= 0,so folgt a*c >= b*c.

4)Ist a<=b, so folgt a+c <= b+c c für jedes c aus den reellen Zahlen.

Comments

1. Schritt: Axiome aufschreiben und mit Zahlen versehen (falls sie keine haben).

Vergleiche mal mit:

https://www.mathelounge.de/234096/ungleichungen-anordnungsaxiomen-beweisen-schritt-kenntlich?show=234110#c234110 

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1. Ist a<= b und c>=0, so folgt a*c <= b*c

2.ist a>= b und c<= 0 , so folgt a*c<= b*c3. Ist a>=b, so folgt a+c >=b+c 4. ist a>= b und b>= c so folgt a>=c. 
Wie kann ich das beweisen? Ich habe schon Zahlen eingesetzt, ich soll es trotzdem noch anders beweisen.

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Gemäss Überschrift sollst du die Anordnungsaxiome verwenden.

Schreibe diese erst einmal hin und versehe sie mit Nummern.

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Ich komme einfach nicht weiter

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Ich habe das selbe Problem . Kann jemand helfen ?

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Gemäss Definition im ersten Link, den ich angegeben habe. Gibt es mindestens 2 Möglichkeiten, die Axiome zu notieren. Ihr solltet zumindest einmal abklären und angeben, welche ihr benutzen dürft.

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Also wieso sollen wir es zeigen:

Ist a<b und c<0, so folgt a*c> b*c

Beweis:

c<0 | + ( -c) => c+(-c) < -c   <=> 0<-c ,

a<b | *(-c) => a*(-c) < b * (-c) => -a*c<-b*c,

-a *c < -b *c | + (a*c+b*c) => b*c < a*c <=> a*c>b*c

Ich verstehe zum Beispiel nicht wieso b*c< a*c ist.

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Du sollst keine Umformungen machen, wie Du sie in der Schule beigebracht bekommen hast, sondern in jedem Schritt ausschliesslich die Axiome/Definitionen eines angeordneten Koerpers benutzen.

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Das ist aber eine Musterlösung.

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Machst Du mir nicht weis.

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Ich bin nicht hier um zu scherzen.

Trotzdem Dankeschön an alle.

Answer 1

Es gibt eine einstellige Relation > 0 ... (Axiom 1)

Aus a, b > 0 folgt a·b > 0. (Axiom 2)

a < b :⇔ b - a > 0. (Definition 1)

Fuer Teil 1) betrachten wir erstmal nur den Fall, dass an jeder Stelle die strikte Ungleichung steht.

     a < b und c > 0

⇔ b - a > 0 und c > 0 (Definition 1)

⇒ c·(b - a) > 0 (Axiom 2)

⇔ c·b - c·a > 0 (Distributivgesetz)

⇔ c·a < c·b (Definition 1)

Das solltest Du mal gruendlich studieren. Das ist ein ganz einfaches Logikspiel mit zwei Axiomen und einer Definition (und den Koerperaxiomen). Man muss nicht wissen, was die Dinge bedeuten sollen, und es ist auch gar nicht erwuenscht (sogar strikt verboten), das in irgendeiner Weise zu benutzen.