Parabel 4. Ordnung durch zwei Punkte. Interpolation, welche Information übersehe ich?

Question

Aufgabenstellung

Eine zur Y-Achse symmetrische Parabel 4. Ordnung berührt die Gerade y=x bei x=2 und schneidet die y-Achse bei y=9.

Wie lautet die Gleichung der Parabel?

Problem

Nach dem verwerten beider Punkte habe ich nur noch eine Gleichung. Aufgrumd der Symmetrie kann och sagen, dass die Parabel auch durch einen anderen Punkt P' ( -2 | 2 ) geht. Aber das bringt mir die Identische gleichung -7 = 16a + 4b die ich schon habe.

Welche Information übersehe ich? :-/

Answer 1

Hallo limonade,

>  Welche Information übersehe ich?

f '(2)  =  h'(2)  =  1    (wegen des Berührens)

Du hast also noch  32a + 4b = 1 ,  den Rest schaffst du :-)

Gruß Wolfgang

Comments

Ich muss kurz überlegen.... 

Die erste Ableitung von f(x) Hat den gleichen Funktionswert wie die erste Ableitung von h(x)

Das sehe ich aber ich bekomme beim ausrechnen zwei unterschiedliche Werte.

f'(2) = -(24)/16

h'(2) = 1

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 32a + 4b = 1 →  a = 1/2

einsetzen in   16·a + 4·b  = - 7  →  b = -15/4

f(x) = 1/2 x⁴ - 14/5 x² + 9     (symmetrisch zur y-Achse) 

f(0) = 9 

f(2) = 2

f '(x) = 2 x³  - 15/2 x

f '(2) = 1

Alle Bedingungen sind erfüllt. Wo ist das Problem ?

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Egal wie verrückt es klingt, wie siehst du dass f'(x) = 1 

Das ist das Problem. :)

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Ich habs herausgefunden, der Kommentar unten schildert meine Gedanken. :-)

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> wie siehst du, dass f '(x) = 1 

f '(2) = h'(2) = 1 ,  weil sich die Parabel und die Gerade an der Stelle x=2  berühren 

 (wenn sich zwei Funktionen an einer Stellex berühren, haben sie dort die gleiche Steigung)

und die Gerade h(x) = x   in x=2 nun einmal die Steigung 1 hat.

Answer 2

Es gilt f '(2)=1 also 1=32a+4b.

Außerdem 2=16a+4b+9

Und daher a=1/2.

Und so weiter.

Comments

Wie siehst du aus der Aufgabenstellung, dass f'(x) =1

Die Steigung der Gerade y = x ist ja m = 1 

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Ok, weil sie y = x in x = 2 berührt und weil y=x genau in diesem Punkt die Steigung m=2 hat, muss auch die Parabel im Punkt x=2 die selbe Steigung haben.

Und was ist die Steigung von f(x) an der Stelle x=2 ?

Die Steigung der Parabel an der Stelle x=2 wird folgendermassen ausgedrückt:

f'(x) = 2

Zum glück habe ich die Parabel noch nicht, und Lasse meine synapsen arbeiten und sage ok wenn 

f(x) = ax⁴+bx² + c

Dann ist 

f'(x) = 4ax³+2bx

f'(2)=1

1 = 32a + 4b 

:)