konvergenzradius bestimmen Wurzelkriterium?

Question

hätte jetzt hier die Wurzelkriterium angewendet, aber was mach ich mit dem Wurzelteil

Comments

EDIT: Wie weit kommst du damit denn genau?

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(3x-2)/ 5 *((n+1)* √n+3)^1/n

Und ab da nicht weiter

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(3x-2) gehört nicht dazu, wenn du einen Konvergenzradius berechnest. 

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Also 1/ 5 *((n+1)* √n+3)?

Answer 1

Nimm besser Quot.krit.         Fehler ! ( s. Kommentare ! )

a_n / a_n+1

= ( 1 / ( 5ⁿ * (n+1) *√(n+3) )    /   (   1 / ( 5ⁿ⁺¹ * (n+2) *√(n+4)  )

=  ( 5ⁿ⁺¹ * (n+2) *√(n+4)  )    /   ( 5ⁿ * (n+1) *√(n+3) )  

=   5 *   (  (n+2)/(n+1) )       *   (  √(n+4)  / √(n+3) )  

=   5 *   (  (n+2)/(n+1) )       *    √((n+4)/(n+3) )

geht gegen 5 * 1 * √1      = 5  = Konv.rad.

Aber Wurzelkrit, geht auch :


(   1/ 5ⁿ *(n+1)* √(n+3)    ) ^1/n 


=  1/5    *(n+1) ^1/n   * (n+3)^1/2n 

geht gegen 1/5  * 1   *  1  

also Konv.radius   1 / (1/5)  = 5

Comments

Wieso ist der Term dann 1?

(n+3)^1/2n wegen der n-ten Wurzel?

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Was passiert eigentlich bei den Randbereichen? :)

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Das musst du getrennt untersuchen. Der Konvergenzradius sagt

darüber nichts.

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Also also für x=5 und x=-5

Da konvergiert es bei x=-5 wegen Leibniz und bei x=5 weiß ich es kciht

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Da stimmt noch was nicht, seh ich gerade.

Es hieß ja nicht xⁿ in der Potenzreihe, sondern (3x-2)ⁿ = 3ⁿ *(x-2/3)ⁿ

Da sieht es alles was anders aus . Der Entwicklungspunkt ist dann 2/3

und der Konvergenzradius 5/3 und nicht 5 .

Also geht das Konvergenzintervall von - 1 bis 7/3.

Und bei -1 hast du

(-5)ⁿ / (  5ⁿ * (n+1) * √(n+3) )

=(-1)ⁿ /  (  (n+1) * √(n+3) )  konvergiert nach Leibniz

und bei  x = 7/3

(5)ⁿ / (  5ⁿ * (n+1) * √(n+3) ) 

= 1  /  (  (n+1) * √(n+3) )

<  1 / n^1,5    also konvergent gemäß

https://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe#Verwandte_Reihen