Grenzwert berechnen. limes (√(x^2+1) - √(x^2-1)) mit x gegen unendlich

Question

Hallo kann mir bitte jemand hier den Grenzwert berechnen. Ich habe nämlich 1 rausbekommen und meine Freundin 0.

Grenzwert berechnen. limes (√(x^2+1) - √(x^2-1)) mit x gegen unendlich 

Answer 1

Wir haben folgendes: $$\lim_{x\rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}\right) \\ =\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}\right)\cdot \left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}\right)}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}} \\ =\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{ \left(x^2+1\right)-\left(x^2-1\right)}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}} \\ =\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{ x^2+1-x^2+1}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}} \\ =\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}} \\ =\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2}{\sqrt{x^2\cdot \left(1+\frac{1}{x^2}\right)}+\sqrt{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}} \\ =\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+|x|\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} \\ =\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2}{|x|\cdot \left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\right)} \\ =\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2}{|x|}\cdot \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\right)} \\ =0\cdot \frac{1}{1+1} \\ =0$$