Meine Ansicht zu einer Kalamität auf dem Gebiet der Analysis.
In Physik hatten wir einen genialen Assistenten, der in der Lage war, selbst vorlaute Mathematiker aufs Kreuz zu legen. Und selbst der schärfte uns ein, diesen Grenzwert so zu berechnen, wie du es hast. Das kam damals von ganz Hoch Oben " par Ordre de Mufti " und " faute de mieux " , wie wir Angelsachsen sagen. In Anbetracht der " Krankenhausregel " beschlich mich schon damals ein leises Unbehagen ===> Damasio ===> Amygdala ( Auch die Mathematik ist nicht frei von Emotionen. ) Zu elementar und getrickst wirkte auf mich damals diese Umformung. Selbst in dem Portal ===> L-y-c-o-s erhielt sie eine Belobigung " husch husch die Waldfee "
( Ich bin nicht Bösental; ich zitiere meine Quellen. Aber dieser Editor lässt dieses Wort nicht zu. Analog dem QM Lehrbuch von Eugen F-i-c-k ) Dann in L-y-c-o-s kam eine Aufgabe mit Kubikwurzel
" Was ist ein Kubikmeter? Das ist, wenn sich eine Kuh ein Meter bikt. "
Leider ist mir das besondere Beispiel nicht mehr erinnerlich; aber verallgemeinern wir doch dein Beispiel. Was ist
lim ( x + 3 ) ^ 1/3 - x ^ 1/3 ( 1a )
Ich war damals noch besonders stolz, der Community die 3. binomische " hoch 3 " vorführen zu können. Dass dies jedoch ein ganz fataler Irrweg ist, erkennst du spätestens, wenn du ( 1a ) verallgemeinerst
lim ( x + 3 ) ^ 1/4 711 - x ^ 1/ 4 711 ( 1b )
Übrigens; wie geht die 3. binomische " hoch 4 711 " ? Sie ist eine ===> geometrische Reihe und sogar einfacher als ihre Schwester, die erste binomische mit ihren ===> Binominalkoeffizienten.
a ^ 4 711 - b ^ 4 711 = ( a - b ) ( a ^ 4 710 + a ^ 4 709 b + a ^ 4 708 b ² + a ^ 4 707 b ³ + ... + a ³ b ^ 4 707 + a ² b ^ 4 708 + a b ^ 4 709 + b ^ 4 710 ( 1c )
" Ich ging dereinst von Nauen nach Plauen / Da traf ich einen Mann mit sieben Frauen. "
Im 19. Jh. hießen die Hosen ja auch die " Unaussprechlichen " ; und ===> Heinrich Böll kennt " jenes höhere Wesen, das wir verehren " Also. Die einzige Antwort, deren ( 1a ) auf jenem unaussprechlichen " Wolfsportal " gewürdigt wurde, ( So lautet nämlich die griechische Übersetzung ) stammt von einem Genie. Er schlug die Transformation vor x := 1/z ( " All of the others were going the other way ... " ) Das funktionierte auch all die Jahre blendend; ich bekam sogar einmal einen Kommentar
" Ja wenn das mit so einem Trick geht? ' Zu was ' lernen wir dann überhaupt noch Definitionsbereich, wenn doch der Trick gerade darin besteht, den zu verlassen? "
Und gestern stellte ich überrascht fest: Es ist nicht die ganze Wahrheit. Obiger Vorschlag führte mich zu der Entdeckung einer Asymptotik, die deinem Wurzelproblem inne wohnt. Einer Asymptotik, von welcher die binomische Entwicklung nichts weiß.
Unter den beiden Wurzeln stehen doch Polynome. Du musst immer die höchste Potenz von x ermitteln, sagen wir x ^ k . Und für die Zwecke einer n-ten Wurzel tust du setzen
x ^ k := 1 / z ^ n ( 2a )
k = 1 ; n = 2 ===> x = 1 / z ² ( 2b )
Was du nämlich erreichen musst, ist, dass im Nenner immer " z hoch Eins " steht. Angewandt auf dein Beispiel, liefert diese Umformung
lim x ===> ( °° ) sqr ( x + 3 ) - sqr ( x ) = ( 3a )
= lim z ===> 0 ( 1/z ) sqr ( 3 z ² + 1 ) - 1 ( 3b )
Nun ist ( 3b ) doch nichts weiter als der Differenzenquotient der Funktion ( 3c ) , genommen zwischen der Stelle z0 = 0 so wie der beliebigen Stelle z
f ( z ) := sqr ( 3 z ² + 1 ) ( 3c )
Und der Grenzwert von ( 3b ) ist f ' ( 0 )
f ' ( z ) = 3 z / sqr ( 3 z ² + 1 ) ===> f ' ( 0 ) = 0 ( 4 )
Wiederholen wir das nochmal für Beispiel ( 1b ) ; analog ( 2ab )
k = 1 ; n = 4 711 ===> x = 1/z ^ 4 711 ( 5a )
( x + 3 ) ^ 1/4 711 - x ^ 1/ 4 711 = : ( 1/z ) [ f ( z ) - 1 ] ( 5b )
f ( z ) = ( 3 z ^ 4 711 + 1 ) ^ 1/4 711 ( 5c )
f ' ( z ) = 4 711 * 3 z ^ 4 710 * ( 1/ 4 711 ) ( 3 z ^ 4 711 + 1 ) ^ ( 1/4 711 - 1 ) = ( 6a )
= 3 z ^ 4 710 / ( 3 z ^ 4 711 + 1 ) ^ 4 710/4 711 ( 6b )
f ' ( 0 ) = 0 ( 6c )
