Wie löst man das nach y(x) auf bzw. geht das überhaupt?

Question

z(x) = e ^ (∫ Q(x) * y(x) * dx)

y(x) = (1 / Q(x)) * [ln(z(x))]´

Ich hoffe man kann das Ableitungszeichen ´ am Ende gut genug sehen.

Das wäre jetzt meine Idee, stimmt das ?

Muss man da noch irgendwas beachten wegen der Integrationskonstanten oder so ?

Comments

Wie sind die Integrationsgrenzen? Wenn da kei n$x$ vorkommt, ist $z(x)$ eine Konstante.

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Es gibt keine Integrationsgrenzen, das ist ein unbestimmtes Integral.

Ich habe aber inzwischen festgestellt, dass es stimmt, sodass sich meine Frage inzwischen erledigt hat.

Beispiel :

z(x) = e ^ (sin(x) - x * cos(x) + 3)

Q(x) = x

e ^ (sin(x) - x * cos(x) + 3) = e ^ (∫ x * y(x) * dx)

y(x) = (1 / x) * [ln(e ^ (sin(x) - x * cos(x) + 3))]´

y(x) = (1 / x) * [sin(x) - x * cos(x) + 3]´

y(x) = (1 / x) * (x * sin(x))

y(x) = sin(x)

Probe :

e ^ (sin(x) - x * cos(x) + 3) = e ^ (∫ x * sin(x) * dx)

Das ist mit der Integrationskonstanten C = 3 eindeutig erfüllt.

Fazit :

Wenn z(x) und Q(x) bekannt sind, dann lässt sich y(x) durch y(x) = (1 / Q(x)) * [ln(z(x))]´ berechnen.

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Noch ein Beispiel :

z(x) = 1 / ln(x)

Q(x) = cos(x)

y(x) = (1 / Q(x)) * [ln(z(x))]´

y(x) = (1 / cos(x)) * [ln(1 / ln(x))]´

y(x) = - 1 / (x * ln(x) * cos(x))

Probe :

1 / ln(x) = e ^ (∫ cos(x) * - 1 / (x * ln(x) * cos(x)) * dx)

1 / ln(x) = e ^ (- ln(ln(x)) + C)

Das ist mit der Integrationskonstanten C = 0 erfüllt.

Answer 1

Du kannst doch   [ln(z(x))]´   = 1/z(x)  * z '(x)   =   z'(x) / z(x)   auch ausrechnen,

dann hast du   y(x) = (z'(x) / ( Q(x)) *z(x)).