Wie zeigt man, ob es sich bei einem Vektorraum um ein ℝ-Vektorraum handelt bzw. was genau heißt das überhaupt?

Question

ich habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe.

Dafür ist es gut zu wissen, dass ein Zeichen, das in der Aufgabenstellung enthalten ist, ich hier leider nicht verwenden kann. Es ist so ähnlich wie dieses Zeichen "⊕", nur anstatt ein Kreis mit einem "+" ist es ein Kreis mit einem Multiplikationszeichen, also ein kleiner Punkt in der Mitte. Stattdessen werde ich hier dieses Zeichen benutzen: •. Ich weiß auch ehrlich gesagt gar nicht, wofür das "⊕" steht oder dasselbige nur mit dem Multiplikationszeichen drin.

Aufgabe:

Gegeben sei der Körper (ℝ, +, ·) der reellen Zahlen. Seien weiter V = ℝ und ⊕: V × V → V
und • : R × V → V .
1. Prüfen Sie, ob (V, ⊕, • ) mit a ⊕ b =_df \( \sqrt[5]{a^5 + b^5} \) und a • b =_df \( \sqrt[5]{a} \) · b ein ℝ-Vektorraum ist.
2. Prüfen Sie, ob (V, ⊕, • ) mit a ⊕ b =_df \( \sqrt[5]{a^5 + b^5} \) und a • b =_df a · b ein ℝ-Vektorraum ist.

Ich bedanke mich für eingehende Lösungen / Lösungswege.

Answer 1

Hallo

das Mal und + mit Kreis heisst dass die Addition von 2 Zahlen nicht wie üblich sondern eben mit der neuen Definition erklärt wird. also etwa 3⊕4=(3^5+4^5)^1/5 =4,174

Wenn du jetzt Linearkombinationen von Vektoren nimmst funktioniert das wie in R mit der normalen Addition? entsprechend mit der Multiplikation .

ebenso wie funktionier es. wenn man ein v mit der Regel mit a multipliziert.

Gruß lul

Comments

Danke für die Antwort. Das mit dem + und dem Kreis habe ich soweit verstanden, aber ich verstehe leider nicht was du mit dem Rest deiner Antwort meinst bzw. wie man bestimmt, ob es sich um einen ℝ-Vektorraum handelt. Ich wäre dir für weitere Hilfe sehr dankbar.