Handelt es sich bei dieser Menge um einen Untervektorraum?

Question

hier habe ich eine Aufgabe bei der ich einfach nicht weiter weiß. Kann jemand die Aufgabe mal Schritt für Schritt erläutern und erklären. Ich sehe einfach nicht wie ich ansetzen soll...

Handelt es sich bei dieser Menge um einen Unterraum von R^R ?

U := {f ∈ R^R | die Abbildung g ∈ R^R mit g(x) = f(x) - f(x-1) liegt in U} , wobei U ⊆ R^R ein gegebener Unterraum ist.

Answer 1

Wegen des unzulässigen Doppelgebrauchs von \(U\) nenne

ich die Menge \(W\).

Zu jedem \(f\in R^R\) definieren wir \(\varphi(f)\) durch

\((\varphi(f))(x)=f(x)-f(x-1)\). Dadurch ist eine Abbildung

\(\varphi:\;R^R \rightarrow R^R\) gegeben. Diese ist ein

Vektorraumhomomorphismus:

1. \(\varphi(f_1+f_2)(x)=(f_1+f_2)(x)-(f_1+f_2)(x-1)=\)

\(=f_1(x)+f_2(x)-(f_1(x-1)+f_2(x-1))=\)

\(=f_1(x)-f_1(x-1)+f_2(x)-f_2(x-1)=\)

\(=\varphi(f_1)(x)+\varphi(f_2)(x)=[\varphi(f_1)+\varphi(f_2)](x)\).

2. Entsprechend die Multiplikation mit Skalaren.

Damit ist \(W=\varphi^{-1}(U)\) ein Unterraum von \(R^R\),

da Urbildmengen von Unterräumen bei linearen Abbildungen

ebenfalls Unterräume sind.