Wegen des unzulässigen Doppelgebrauchs von \(U\) nenne
ich die Menge \(W\).
Zu jedem \(f\in R^R\) definieren wir \(\varphi(f)\) durch
\((\varphi(f))(x)=f(x)-f(x-1)\). Dadurch ist eine Abbildung
\(\varphi:\;R^R \rightarrow R^R\) gegeben. Diese ist ein
Vektorraumhomomorphismus:
1. \(\varphi(f_1+f_2)(x)=(f_1+f_2)(x)-(f_1+f_2)(x-1)=\)
\(=f_1(x)+f_2(x)-(f_1(x-1)+f_2(x-1))=\)
\(=f_1(x)-f_1(x-1)+f_2(x)-f_2(x-1)=\)
\(=\varphi(f_1)(x)+\varphi(f_2)(x)=[\varphi(f_1)+\varphi(f_2)](x)\).
2. Entsprechend die Multiplikation mit Skalaren.
Damit ist \(W=\varphi^{-1}(U)\) ein Unterraum von \(R^R\),
da Urbildmengen von Unterräumen bei linearen Abbildungen
ebenfalls Unterräume sind.
