Nachweisen, dass es sich um einen Untervektorraum handelt.

Question

Aufgabe:

Eine Funktion f : ℝ → ℝ heißt gerade, wenn f(−x) = f(x) für alle x ∈ ℝ gilt. Sie heißt ungerade,
wenn f(−x) = −f(x) für alle x ∈ ℝ gilt. Und F(ℝ, ℝ) bezeichnet die Menge aller Funktionen.

Nun bezeichnen wir die Menge aller geraden Funktionen von ℝ nach ℝ mit G(ℝ, ℝ) und die Menge aller ungeraden Funktionen von ℝ nach ℝ mit U(ℝ, ℝ). Und F(ℝ, ℝ) bezeichnet die Menge aller Funktionen.

Und nun soll gezeigt werden, dass G(ℝ, ℝ) und U(ℝ, ℝ) Untervektorräume von F(ℝ, ℝ) sind.

Problem/Ansatz:

Also ich weiß man muss jetzt auf die 3 Kriterien von Untervektorräumen prüfen, die wären:

1. Es darf keine leere Menge sein.

2. Muss abgeschlossen bezüglich der Addition sein

3. Muss abgeschlossen bezüglich der Multiplikation mit λ∈ℝ sein.

Kann mir jemand helfen das zu zeigen?

Answer 1

Aloha :)

1) Wir zeigen, dass die Null-Funktion in \(G\) und \(U\) enthalten ist:$$g(x)=0\implies g(-x)=0=g(x)\implies g\in G$$$$u(x)=0\implies u(-x)=0=-0=-u(x)\implies u\in U$$

2) Wir zeigen die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition in \(F\):$$g_1,g_2\in G\implies (g_1+g_2)(-x)=g_1(-x)+g_2(-x)=g_1(x)+g_2(x)=(g_1+g_2)(x)$$$$\phantom{g_1,g_2\in G}\implies(g_1+g_2)\in G$$$$u_1,u_2\in U\implies (u_1+u_2)(-x)=u_1(-x)+u_2(-x)=-u_1(x)-u_2(x)=-(u_1+u_2)(x)$$$$\phantom{u_1,u_2\in U}\implies(u_1+u_2)\in U$$

3) Wir zeigen die Abgeschlossenheit bzgl. der Skalarmultiplikation in \(F\):$$g\in G,\lambda\in\mathbb R\implies (\lambda\cdot g)(-x)=\lambda\cdot g(-x)=\lambda\cdot g(x)=(\lambda\cdot g)(x)$$$$\phantom{g\in G,\lambda\in\mathbb R}\implies(\lambda\cdot g)\in G$$$$u\in U,\lambda\in\mathbb R\implies (\lambda\cdot u)(-x)=\lambda\cdot u(-x)=\lambda\cdot(-u(x))=-\lambda\cdot u(x)=(-\lambda\cdot u)(x)$$$$\phantom{u\in G,\lambda\in\mathbb R}\implies(\lambda\cdot u)\in U$$