Entscheiden Sie für die folgenden Mengen, ob es sich um einen Untervektorraum des R³ handelt

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie für die folgenden Mengen, ob es sich um einen Untervektorraum des \( \mathbb{R}^{3} \) handelt. Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie entweder die definierenden Eigenschaften eines Untervektorraumes nachweisen oder zeigen, dass die Eigenschaften nicht erfüllt sind.

(a) \( U=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T} \in \mathbb{R}^{3} \mid 3 x_{1}+x_{2}=0\right\} \)

(b) \( V=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T} \in \mathbb{R}^{3} \mid x_{1}-x_{2}=1\right\} \)

(c) \( W=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T} \in \mathbb{R}^{3} \mid x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \mathbb{Z}\right\} \)

Answer 1

In der Aufgabe steht doch sogar,was genau du machen sollst.

Du musst die Axiome für einen Untervektorraum überprüfen :
1. Die 0 muss enthalten sein.

2. Wenn zwei Elemente v,w in deinem Untervektorraum sind, so ist auch v+w Element deines Untervektorraums.

3.Wenn v Element des Untervektorraums ist, so ist auch a*v Element des Untervektorraums. (a Element von R )

Für a) mal als Beispiel :

1.

3x₁+x₂= 0

0 (in diesem Fall als Vektor des R^3 (0,0,0) . Ist in der Menge enthalten,da gilt

3*0+0=0

2.

Wähle v und w Element U . 

v=(v1,v2,v3) w=(w1,w2,w3)

Betrachte v+w = (v1+w1,v2+w2 , v3+w3)

3*(v1+w1)+(v2+w2)= 3v1+3w1+v2+w2 = (3v1+v2)+(3w1+w2) ...

Jetzt wissen wir ,dass die beiden Klammerausdrücke jeweils =0 sind, somit gilt:

...(3v1+v2)+(3w1+w2)=0

Also liegt v+w auch in U.

3.Liegt a*v in U?

Wir haben :
3(a*v1)+a*v2= a*3v1+a*v2=a*(3v1+v2)
Der Klammerausdruck ist wieder gleich 0 ,also ist :

a*(3v1+v2)= 0

Also liegt auch a*v in U.

U ist also ein Untervektorraum des R^3