Wie überprüfe ich ob es sich um einen K-Vektorraum handelt bzw wie überprüfe ich die Vektorraum-Axiome?

Question

Aufgabe:

K = ℝ , V = ℝ>0 und dann ( V , ⊕ ,⊗ ), wobei wir für x , y ∈ V und λ ∈ K definieren:
x ⊕ y := x · y und λ ⊗ x := x ^λ

Problem:

Wie überprüfe ich ob es sich um einen K-Vektorraum handelt bzw. wie überprüfe ich die Vektorraum-Axiome?

Answer 1

Du musst alles überprüfen, was bei den Axiomen aufgelistet ist.

In Anlehnung an die Formulierungen bei Wikipedia

https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Definition

würde ich mal so beginnen:

a)   Ist ⊕    eine innere Verknüpfung auf V ?

D.h. Gilt bei der Definition x ⊕ y := x·  y

tatsächlich, dass für x,y aus ℝ⁺ ?

In der Tat, das Produkt zweier positiver reeller

Zahlen ist wieder eine.

b)   Ist λ ⊗ x := x ^λ  eine äußere Verknüpfung,

also für λ ∈ℝ und x∈ ℝ⁺ ist x^λ ∈ℝ+ .

Auch das stimmt.

Dann kommen die restlichen Axiome dran,

also bei Nummerierung wie bei Wikipedia:

V1   \(  u \oplus (v \oplus w) = (u \oplus v ) \oplus w \)

Seien also u,v,w ∈ ℝ+ dann folgt

\(  u \oplus (v \oplus w) = u \cdot (v \cdot w) \)

wegen Gültigkeit der Assoziativität in (R+, · ) also

\( = (u \cdot v ) \cdot w =  ( u \oplus v )  \oplus w \)

Also V1 erfüllt.

So in der Art weiter kannst du das im Wesentlichen auf die

Gesetze im Körper ℝ zurückführen.