Nennen sie Axiome und Rechenregeln zu der folgenden Rechnung um Gruppen und Körper

Question

Aufgabe:

Sei G eine Gruppe und K ein Körper. Zeigen Sie folgende Rechenregeln.
Geben Sie bei jedem Schritt genau an, welches Axiom bzw. welche schon bekannte Regel
Sie benutzen. (Rechenschritte: siehe Foto)

Problem/Ansatz:

Hallo, könnt ihr die Rechenregel oder Axiome nennen die ihr dort finden könnt, mir fehlen noch viele. Danke im Voraus.

Text erkannt:

(a) \( \forall a \in G:\left(a^{-1}\right)^{-1}=a \)
(b) \( \forall x \in K: 1 \cdot x=x \cdot 1=x \)
(c) \( \forall x, y \in K: x \cdot y=0 \Longrightarrow x=0 \vee y=0 \)
(d) \( \forall x \in K:(-1) \cdot x=-x \)
(e) \( \forall x \in K \backslash\{0\}: x^{-1} \neq 0 \)
(f) \( \forall x, y \in K:(-x) \cdot(-y)=x \cdot y \)
(g) \( \forall a, b, c, d \in K, b \neq 0, d \neq 0: \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a \cdot d+b \cdot c}{b \cdot d} \)
(h) \( \forall a, b, c, d \in K \backslash\{0\}: \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a \cdot d}{b \cdot c} \)

Answer 1

Du sollst doch die abgebildeten Regeln beweisen und dabei angeben

welche Axiome (oder bereits bewiesene Regeln [Die kenne ich allerdings nicht.])

du dabei benutzt. Bei (a) brauchst du wohl nur die Gruppenaxiome, etwa so:

Sei (G,*) eine Gruppe und a∈G. Dann gibt es nach dem Axiom

("Jedes Gruppenel. besitzt ein Inverses.")

ein Element   a^(-1) ∈G  mit    a^(-1)*a = e und a*a^(-1) = e .

Nach dem gleichen Axiom muss auch   a^(-1) ein Inverses ,

(Nennen wir es b.) haben. Für dieses gilt also

                      a^(-1)*b = e und b*a^(-1) = e .

Nehmen wir mal erst das erste   a^(-1)*b = e.

Wegen der Eindeutigkeit der Gruppenverknüpfung ( a wird

mit diesen gleichen Elementen verknüpft.) gilt dann auch

                            a* (  a^(-1)*b)   = a *  e

Wegen der Assoziativität (Gruppenaxiom) gilt

                         ( a*   a^(-1)  *b = a *  e

Axiom über das neutr. El liefert

                            ( a*  a^(-1)  *b = a

Axiom über die Inversen ergibt   e*b = a

und wieder das neutrale           b = a.

Also ist b ( Das war das Inverse von a^(-1) gleich a,

formal heißt das                (a^(-1))^(-1) = a.

etc.

Comments

Danke habe jetzt alles außer g und h gelöst, weißt du wie man das hinbekommt?

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\( \forall a, b, c, d \in K, b \neq 0, d \neq 0: \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a \cdot d+b \cdot c}{b \cdot d} \)

Machst du am besten von rechts nach links.

Dividieren bedeutet: Multiplizieren mit dem

multiplikativen Inversen. Also

\( \frac{a \cdot d+b \cdot c}{b \cdot d} \)

bedeutet ja:  \( (a \cdot d+b \cdot c) \cdot (b \cdot d)^{-1}  \)

und vielleicht hattet ihr ja schon \( ((b \cdot d)^{-1} = d^{-1} \cdot  b^{-1} \)

(Müsstest du sonst noch extra zeigen.)

Dann kannst du ja so umformen:

\( (a \cdot d+b \cdot c) \cdot (b \cdot d)^{-1}  \)

\(= (a \cdot d+b \cdot c) \cdot (b^{-1} \cdot d)^{-1} \)

Distributivaxiom gibt

\(= (a \cdot d) \cdot (b^{-1} \cdot d)^{-1} +(b \cdot c) \cdot  (b^{-1} \cdot d^{-1})  \)

mehrmaliges Anwenden von Assoziativität und Kommutativität

der Multiplikation gibt

\(= a \cdot (d\cdot d^{-1}) \cdot b^{-1}  +(b \cdot b^{-1} ) \cdot (c \cdot  d^{-1} ) \)

Axiom  der Inversen:

\(= a \cdot 1 \cdot b^{-1}  +   1  \cdot ( c \cdot d^{-1})\)

Axiom neutrales

\(= a  \cdot b^{-1}  +  c \cdot d^{-1} \)

Def. der Division \( = \frac{a}{b}+\frac{c}{d} \)

h) geht so ähnlich.