Körper (K, +, ·) mit mindestens zwei Elementen. Zeigen Sie, dass 0 ungleich 1.

Question

Aufgabe:

Der Fragetitel wäre Aufgabe a)

b) Zeigen Sie, dass ℤ_k mit der Standardaddition und -multiplikation
[n] + [m] := [n + m] , [n] · [m] := [n · m] , n, m ∈ ℤ ,
kein Körper ist, falls k ∈ ℕ, k ≥ 2, keine Primzahl ist.

Problem/Ansatz:

Ehrlichkeit währt am längsten: Ich habe wenig Ahnung von Körpern und verstehe nicht so recht wie ich das Zeigen soll. Mit einer Verknüpfungstafel?

Answer 1

Der Unterschied zwischen Körper und Ring liegt ja darin, dass

im Körper jedes Element ≠ 0 ein multiplikatives Inverses haben muss.

Sei  Z_k der Restklassenring mod k und k keine Primzahl, dann

gibt es  a,b ∈ { 2, ……, k-1 } mit a*b=k

Dann ist im Restklassenring a*b = 0 , wäre es ein Körper , dann hätten

a und b Inverse a^(-1) und b^(-1) und du könntest die Gleichung

a*b = 0  zunächst von links mit a^(-1) multiplizieren

a^(-1)*(a*b) = a^(-1)*0  und wegen der Assoziativität

(a^(-1)*a)*b = a^(-1)*0

            1*b = 0

und dann von rechts mit b^(-1) und hast letztendlich

             1 = 0     was in einem Körper nie gilt.