Was besagt das über die Beziehung zwischen dimC(V ) und dimR(V )?

Question

Aufgabe:

 Sei V ein C-Vektorraum und a1,...,an ∈ V eine Basis. Seien weiterhin z1,...,zn komplexe Zahlen, deren Imaginärteile nicht verschwinden. Beweisen Sie, dass die 2n Vektoren a1,z1a1,a2,z2a2 ...,an,znan ∈ V eine Basis von V bilden, wobei wir nun V als R-Vektorraum auffassen. Was besagt das über die Beziehung zwischen dimC(V ) und dimR(V )?

Problem/Ansatz:

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Comments

Vom Duplikat:

Titel: Sei V ein C-Vektorraum und a1,...,an ∈ V eine Basis. Seien weiterhin z1,...,zn komplexe Zahlen

Stichworte: vektorraum,basis,untervektorraum,lineare-algebra,körper

Aufgabe:

 Sei V ein C-Vektorraum und a1,...,an ∈ V eine Basis. Seien weiterhin z1,...,zn komplexe Zahlen, deren Imagin¨arteile nicht verschwinden. Beweisen Sie, dass die 2n Vektoren a1,z1a1,a2,z2a2 ...,an,znan ∈ V eine Basis von V bilden, wobei wir nun V als R-Vektorraum auffassen. Was besagt das über die Beziehung zwischen dimC(V ) und dimR(V )?

Problem/Ansatz:

…

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Kann man deine Frage eventuell hierhin umleiten

https://www.mathelounge.de/6979/vektorraum-einschrankung-skalarmultiplikation-vektorraum

 oder anders: Kannst du die alte Frage beantworten. Die wird offenbar recht häufig aufgerufen.

Answer 1

Sei z ∈ ℂ.

Sei p = (ℑ(z)·ℜ(z_i) - ℜ(z)·ℑ(z_i)) / ℑ(z_i).

Sei q = ℑ(z) / ℑ(z_i).

Dann ist z·a_i = p·a_i + q·z_ia_i.

Also ist a₁, z₁a₁, a₂, z₂a₂ ..., a_n, z_na_n ein Erzeugendensystem von V als ℝ-Vektorraum.

Du musst noch die lineare Unabhängigkeit zeigen.