Ich muss folgende Aufgaben lösen und würde gerne eure Meinung zu meiner Beweisführung (Verbesserung in der Notation, Korrektur meiner Beweisführung falls falsch/ unvollständig) von i) hören.
Für Aufgabe ii) würde ich mich freuen, wenn ihr mir sagt, was ich zu tun habe und einen Ansatz liefert. Ich verstehe bisher, dass ich die Richtung: ''<==='' zeigen muss. Aber wie?
Aufgabe:
Sei n ∈ ℤ, n ≥ 0. Sei \( n \mathbb { Z } : = \{ n z : z \in Z \} \). Zeigen Sie:
(i) nℤ ist eine Untergruppe von \( ( \mathbb { Z } , + ) \).
(ii) Ist U eine Untergruppe von \( ( \mathbb { Z } , + ) \), dann existiert ein n ≥ 0 mit \( U = n \mathbb { Z } \)
Mein Ansatz:
Zu (i) Richtung: \( \Longrightarrow \)
$$ \text{ Sei } n \in \mathbb{Z}, n \geq 0 \\ \text {Sei }U: n \circ \mathbb{Z} := \{n\circ z: z \in Z \} \\[20pt] \text{ Zu zeigen } U\subset G(\mathbb{Z},+) \\[10pt] $$
Beweis: Um zu zeigen, dass U eine Untergruppe von G müssen folgende Axiome gelten: $$ 1) \exists! e\in U,G: \{e\in U=e\in G\} \\ 1.1)G: \forall a\in \mathbb{Z}+0\in\mathbb{Z}=a \Longrightarrow e \in G= 0 \\1.2) U:n\circ z\{n \in \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \land z\in \mathbb{Z}\} \Longrightarrow 0 \in n \land 0 \in z\Longrightarrow \{\forall n+ z\{0\}= n\}\land (n\{0\}+z=z\})\Longrightarrow e\in U=0 \\\{1.1 \land 1.2\}\Longrightarrow e\in G= e\in U \Box \\[10pt]2)\forall a\in U \exists!a^{-1}\in U:\{a\circ a^{-1}=e\} \\\text{Beweis:} \\U:= n\circ z $$
Zwar ist n in den ganzen Zahlen enthalten, aber es ist nicht negativ, jedoch ist z ein Element der Ganzen Zahlen, sodass Folgendes gilt: $$ \forall n\in \mathbb{Z} \exists! \{n^{-1} =z\}\in \mathbb{Z}\Longrightarrow n+n^{-1}=0=e \Box \\[10pt] 3)\forall n,z \in U: \{n \circ Z = a \in U\} \\\text{Da } (n\in \mathbb{N} \land \mathbb{N} \subset \mathbb{Z})\land (z\in \mathbb{Z}) \Longrightarrow n+z=a\in \mathbb{Z} \Longrightarrow \mathbb{Z} \subset U \Box $$
Da alle 3 Kriterien für Untergruppen für U erfüllt sind, ist U eine Untergruppe von \( G(Z,+) \blacksquare \).
