Beh.: nZ := {nk; k ∈ Z} ist eine Untergruppe von (Z,+) für jedes n ∈ N0.
Bew.: Sei n ∈ N0.
1. Es gilt 0∈nZ; denn 0 ist von der Form nk mit k∈ Z, nämlich k=0.
2. Zu jeden x∈ nZ ist auch -x ∈ nZ ; denn
x∈ nZ ==> ∃ k ∈ Z mit x = n*k. Aber mit k ist auch -k ∈ Z, also
n*(-k) = -x ∈ nZ
3. nZ ist abgeschlossen bzgl. +; denn Seien x,y ∈ nZ
==> ∃ k ∈ Z mit x = n*k. und ∃ h ∈ Z mit y = n*h.
Dann ist auch k+h ∈ Z , also n(k+h) ∈ nZ
Und mit n(k+h) = nk+nh = x+y.
Also ist nZ eine Untergruppe.
Beh.: Jede Untergruppe U von Z ist von dieser Form.
Ist U={0} , dann ist U=0Z, also von der vorgegebenen Form.
Ist U≠{0} so enthält U ein Element x≠0, und weil es eine Untergruppe
ist auch -x. Eines dieser beiden Elemente ist in N, also ist
U ∩ N eine nicht leere Teilmenge von N, enthält also ein
kleinstes Element n.
Sei nun m∈U . Wegen der "Division mit Rest" gibt es
q∈ℤ und r∈ℕo mit m=q*n+r und r<n ==> m-qn = r
Da n∈U ist auch q*n = n+n+n+...+n aus U.
Also ist die Differenz m-qn auch aus U, also r∈U.
Wegen r<n und der Wahl von n als Minimum, ist also r=0
==> m=q*n. Also ist jedes m∈U von der Form q*n.
q.e.d.
