⟨g⟩ = {gk ∣ k ∈ Z} ist eine Untergruppe von G und ∣⟨g⟩∣ = ord(g)

Question

Sei G eine Gruppe und g ∈ G.

(1) Die Zahl ord(g) = min({∞} ∪ {k ∈ N ∣ g^k = 1}) heißt die Ordnung von g. Zeigen Sie:
⟨g⟩ = {g^k ∣ k ∈ Z} ist eine Untergruppe von G und ∣⟨g⟩∣ = ord(g).

(2) Zeigen Sie: Ist ord(g) < ∞ und m∈ Z mit g^m =1, so gilt ord(g) | m.

 

kann jemand mir helfen ? 

Velen Dank :) 

Answer 1

Hallo Simo, bisher habe ich es immer so gemacht, dass ich meiner Antwort die benötigten Definition von Gruppen, Ringen, Körpern vorangestellt habe.  Aber eigentlich kriegt das jeder Fragesteller mit Hilfe von Wikipedia selber hin.  Wenn dann noch was unklar ist, kann er ja gezielter fragen.

Untergruppenkriterium:  Wikipedia -> Untergruppe -> Äquivalente Definition.