U ist eine Untergruppe von (G, ·) ⇔ ∀a, b ∈ U ist a · b^−1 ∈ U.
Die Richtung ==> benötigt ja nichts anderes als die Abgeschlossenheit von U
und dass es zu jedem b auch ein b^-1 gibt.
Spannender ist wohl <==.
Sei also U eine nicht leere Teilmenge von G mit
# ∀a, b ∈ U ist a · b^−1 ∈ U .
1. Das neutrale Element e ist in U.
Denn U ist nicht leer, enthält also ein x∈G und nach Vor #
(mit a=x und b=x ) ist dann auch x · x^−1 ∈ U.
Aber x · x^−1 = e, also e ∈ U.
2. Zu jedem x ist auch x^-1 aus U. Setze in #
a=e (ist ja in U.) und b=x dann hast du e*x^-1 ∈ U
also x^-1 ∈ U.
3. U ist abgeschlossen. Seien x,y ∈ U. Dann ist wegen 2
auch y^-1 aus U . Und dann liefert # mit a=x und b=y^-1
das Ergebnis x · y ∈ U.
4. Die Verknüpfung ist assoziativ. Da sie für alle Elemente
aus G assoziativ ist, und diese alle in U sind, ist dei
Verknüpfung auch auf U assoziativ.
Also ist U eine Teilmenge von G die bzgl. · eine Gruppe
ist, somit ist (U, ·) eine Untergruppe von G.