Zeigen Sie, dass U ⊆ G genau dann eine Untergruppe von (G, *) ist, wenn U ≠ ∅

Question

Aufgabe:

Sei (G, *) eine Gruppe. Eine Untergruppe von (G, *) ist eine Teilmenge von U ⊆ G, die selbst eine Gruppe bezüglich der Verknüpfung * ist.

Zeigen Sie, dass U ⊆ G genau dann eine Untergruppe von (G, *) ist, wenn U ≠ ∅ und für alle a, b ∈ U auch a*b^{-1} ∈ U gilt, wobei b^{-1} das inverse Element bezüglich * in G ist.

Answer 1

Sei U ⊆ G und  U ≠ ∅ und

# für alle a,b aus U ab^-1 aus U

Da U ≠ ∅  gibt es ein a ∈ U dann ist  aa^-1 aus U,

also das neutrale Element e ∈ U.

Sei nun  a ∈ U dann ist  ea^-1 = a^-1 ∈   U.

Also zu jedem a auch das Inverse von a aus U.

Fehlt noch: Abgeschlossenheit:

Seien a,b ∈ U  dan  ist ( s.o.) auch c=b^-1 ∈ U

und wegen # auch

a*c^-1 ∈ U     also   ab ∈ U .      q.e.d.