Zeigen Sie, dass es genau dann eine Untergruppe von G ist,.

Question

Sei \( (G, \diamond) \) eine Gruppe und \( U, V \subset G \) Untergruppen von \( G . \) Wir definieren
\( U \diamond V:=\{u \diamond v: u \in U, v \in V\} \)
und
\( V \diamond U:=\{v \diamond u: u \in U, v \in V\} . \)
Zeigen Sie, dass \( U \diamond V \) genau dann eine Untergruppe von \( G \) ist, wenn \( U \diamond V=V \diamond U \) gilt.

Answer 1

 \( U \diamond V \) sei eine Untergruppe von \( G \)  und sei x∈  \( U \diamond V \).

[  Dann ist zu zeigen  x∈\( V \diamond U \), dann hat man schon mal \( U \diamond V \) ⊆ \( V \diamond U \). ]

Also los: x∈  \( U \diamond V \) ==> Es gibt u∈U und v∈V mit x= \( u \diamond v \).

Da \( U \diamond V \) eine Gruppe ist, ist auch x^(-1) ∈ \( U \diamond V \).

also \( (u \diamond v)^{-1} \) ∈ \( U \diamond V \).

Nun gilt aber immer \( (u \diamond v)^{-1} =  v^{-1}\diamond u^{-1} \)

Also v^(-1)∈U  und  u^(-1) ∈V. Weil es Untergruppen sind ,

also auch v∈U und u ∈V. Und damit x= \(  u \diamond v  ∈  V \diamond U \).

2. Teil: \( U \diamond V \) ⊇ \( V \diamond U \) geht wohl auch in der Art,

also über \( (u \diamond v)^{-1} =  v^{-1}\diamond u^{-1} \).

Und die andere Richtung :

" Wenn \( U \diamond V=V \diamond U \) gilt, dann ist  \( U \diamond V \) eine Untergruppe von \( G \)  ."    auch in der Art.