Beweis zu Gruppen (Vereinigung und Schnitte von Gruppen)

Question

Sei (G,°) eine Gruppe und A und B Untergruppen von G. Zeige: Die Vereinigung A und B ist genau dann eine Untergruppe von G, wenn entweder A eine Teilmenge von B ist, oder B eine Teilmenge von A. Ich würde mich darüber freuen, wenn ihr mir dabei helfen könntet.

Answer 1

sei A eine Teilmenge von B oder umgekehrt. Da A und B Untergruppen von G sind, ist die Vereinigung von A und B trivialerweise eine Untergruppe von G.

Sei umgekehrt die Vereinigung von A und B eine Untergruppe von G. Sei nun a ein Element von A, das nicht in B ist und b ein Element von B, das nicht in A ist.

Das Element a°b ist in wenigstens einer der beiden Gruppen A oder B. Sei dieses ohne Beschränkung der Allgemeinheit in A. Dann ist auch a^{-1}°a°b = b in A. Dies aber ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass das Element b nicht in A ist. Das heißt in diesem Fall B ⊂ A.

Liegt a°b hingegen in B, so gilt A ⊂ B. Daher die Phrase "ohne Beschränkung der Allgemeinheit".

MfG

Mister