Mengengleichheit beweisen A∩B = B ⇐⇒ B ⊂ A

Question

Hall Leute,

ich soll die o.g Gleichung beweisen.

Ich glaube ich bräuchte mal Hilfe. Folgendes habe ich bisher überlegt:

Sei x ∈ A∩B, dann gilt x ∈ A und x ∈ B.

Wenn B ⊂ A gilt, dann gilt A∩B = B, da x ∈ A∩B und wegen B ⊂ A liegen alle x ∈ B in A.

Jedenfalls glaube ich nicht ,dass das ein korrekter vollständiger beweis ist. Aber grundsätzlich müssten die Überlegungen doch richtig sein? Wie würde denn der formal korrekte Beweis aussehen? Und es ist doch korrekt, dass ich um die Gleichung zu beweisen B ⊂ A nutze, oder? Anders würde es ja nicht gehen, denke ich...^^

LG und vielen Dank!!

Answer 1

wegen B ⊂ A liegen alle x ∈ B in A

Das ist richtig.

Dann liegen auch alle x ∈ B in A∩B. Also ist B ⊂ A∩B.

Laut Definition von ∩ ist auch A∩B ⊂ B.

Wegen B ⊂ A∩B und A∩B ⊂ B ist B = A∩B.

Damit ist B ⊂ A ⇒ A∩B = B bewiesen.

Und es ist doch korrekt, dass ich um die Gleichung zu beweisen B ⊂ A nutze, oder?

Ja. Es fehlt aber noch der Beweis für A∩B = B ⇒ B ⊂ A. Dafür darfst du dann die Gleichung nutzen.