Welche Mengen werden dadurch beschrieben? Vereinigung von Intervallen.

Question

Aufgabe:

a) Sei

$$ I_{k}=\left[1-\frac{1}{k}, k\right], \quad k=1,2, \ldots \ldots $$

Welche Mengen werden durch

$$ I_{1} \cup I_{2}, I_{1} \cup I_{2} \cup I_{3}, \bigcup_{k=1}^{\infty} I_{k}, \mathrm{bzw} . I_{1} \cap I_{2}, I_{1} \cap I_{2} \cap I_{3}, \bigcap_{k=1}^{\infty} I_{k} $$

beschrieben?

b) Zeigen Sie durch Angabe eines passenden Gegenbeispiels, dass die folgende Aussage falsch ist:
Für die Funktion \( f: \boldsymbol{R} \rightarrow \boldsymbol{R}, f(x)=x^{2} \) und Teilmengen von \( A, B \) von \( \boldsymbol{R} \) gilt:

$$ f(A \cap B)=f(A) \cap f(B) $$

Hinweise:

1. Sie können die Mengen \( A, B \) für das Gegenbeispiel als (passende) Intervalle wählen.

2. Wir betrachten das intervall \( A=[2,3] \) und \( f \) die oben definerte Funktion \( f(x)=x^{2} \). Dann bedeutet die Notation \( f(A) \) folgendes:

$$ f(A)=f([2,3])=\left[2^{2}, 3^{2}\right]=[4,9] $$

Comments

Bei a) kommt meines Erachtens als Erstes das Intervall [0, ∞ ) raus.

Als Zweites die Menge, die nur den Punkt 1 enthält. Also: M = {1}

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

a) Vereinigung und Schnitt von Intervallen

Vereinigung von Intervallen

- \(I_1 \cup I_2\):

\(I_1 = \left[1-\frac{1}{1}, 1\right] = [0, 1]\)

\(I_2 = \left[1-\frac{1}{2}, 2\right] = \left[\frac{1}{2}, 2\right]\)

Die Vereinigung \(I_1 \cup I_2 = [0, 2]\) umfasst alle Punkte von 0 bis 2, da beide Intervalle auf diesem Bereich überlappen bzw. aneinandergrenzen.

- \(I_1 \cup I_2 \cup I_3\):

\(I_3 = \left[1-\frac{1}{3}, 3\right] = \left[\frac{2}{3}, 3\right]\)

Die Vereinigung \(I_1 \cup I_2 \cup I_3 = [0, 3]\) umfasst alle Punkte von 0 bis 3.

- \(\bigcup_{k=1}^{\infty} I_{k}\):

Da für zunehmende \(k\), \(I_k = \left[1-\frac{1}{k}, k\right]\) rechts offen endlich bleibt und links gegen 1 konvergiert, ergibt die Vereinigung \(\bigcup_{k=1}^{\infty} I_{k} = [0, \infty)\), also alle positiven Zahlen inklusive Null.

Schnitt von Intervallen

- \(I_1 \cap I_2\):

Da \(I_1 = [0, 1]\) und \(I_2 = \left[\frac{1}{2}, 2\right]\), überlappen diese Intervalle im Bereich \(\left[\frac{1}{2}, 1\right]\).

- \(I_1 \cap I_2 \cap I_3\):

Alle drei Intervalle überlappen im Bereich \(\left[\frac{2}{3}, 1\right]\), da \(I_3\) bei \(\frac{2}{3}\) beginnt und bis 3 reicht.

- \(\bigcap_{k=1}^{\infty} I_{k}\):

Für zunehmende \(k\), wird der Startpunkt \(1-\frac{1}{k}\) immer näher zu 1 und der Endpunkt \(k\) wächst unendlich. Der Schnitt aller dieser Intervalle \(\bigcap_{k=1}^{\infty} I_{k} = \{1\}\), da nur der Punkt 1 in allen Intervallen enthalten ist.

b) Gegenbeispiel zur angegebenen Aussage

Die Aussage, dass \(f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)\) für \(f(x) = x^2\) und Teilmengen von \(\mathbb{R}\) gilt, soll widerlegt werden.

Wir nutzen die Hinweise und wählen als Mengen \(A\) und \(B\):

\(A = [2,3]\) und \(B = [-3, -2]\)

Dann gilt:

\(f(A) = [2^2, 3^2] = [4, 9]\)

\(f(B) = [(-3)^2, (-2)^2] = [4, 9]\)

Das bedeutet:

\(f(A) \cap f(B) = [4, 9]\)

Aber:

\(A \cap B = \emptyset\) (denn A und B haben keinen Schnittpunkt, da A im positiven und B im negativen Bereich liegt)

Daraus folgt:

\(f(A \cap B) = f(\emptyset) = \emptyset\) (die leere Menge, denn es gibt keine Elemente zu transformieren)

Da \(f(A) \cap f(B) = [4, 9] \neq \emptyset = f(A \cap B)\), ist gezeigt, dass die Aussage \(f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)\) falsch ist.