Teilmenge, Schnitt, Vereinigung: Beweisen Sie: A ⊂ B <=> A∩B = A <=> A∪B = B

Question

ich bräuchte mal eure Hilfe bei folgender Aufgabe:

Beweisen Sie: A ⊂ B   <=>  A∩B = A   <=>  A∪B = B

Meine Idee: Beweis durch Ringschluss

1. Sei A ⊂ B, dann folgt aus x∈A, dass x∈B. Hiermit gilt: x∈(A∩B) = x∈A ∧ x∈B = x∈A.

2. Sei A∩B = A, dann gilt: x∈(A∩B) = x∈A ∧ x∈B = x∈A. Letzeres trifft sicher zu, also gilt auch x∈A ∨ x∈B = x∈B.

3. Sei A∪B = B. Dann gilt: x∈(A∪B) = x∈A ∨ x∈B. Dies kann nur B ergeben, wenn aus x∈A x∈B folgt. Also: A ⊂ B

Stimmt das so? Ich finde das recht knapp und bin mir auch unsicher, ob das überhaupt stimmt.....

Answer 1

Wie ausführlich ihr das haben müsst, weiss ich nicht.

Aber Gleichheit muss man idR in 2 Richtungen zeigen. 1. Menge ist in 2. und 2. Menge ist in erster enthalten.

Dann ein paar Formalitäten. Überleg dir, ob du die gefärbten Zeichen nicht anders schreiben kannst / sollst:

Beweisen Sie: A ⊂ B   <=>  A∩B = A   <=>  A∪B = B

Meine Idee: Beweis durch Ringschluss

1. Sei A ⊂ B, dann folgt aus x∈A, dass x∈B. Hiermit gilt: x∈(A∩B) = x∈A ∧ x∈B = x∈A.

2. Sei A∩B = A, dann gilt: x∈(A∩B) = x∈A ∧ x∈B = x∈A. Letzeres trifft sicher zu, also gilt auch x∈A ∨ x∈B = x∈B.

3. Sei A∪B = B. Dann gilt: x∈(A∪B) = x∈A ∨ x∈B. Dies kann nur B ergeben, wenn aus x∈A x∈B folgt. Also: A ⊂ B

Wenn du AcB zeigen musst. Dann beginnst du mit : Sei x Element A. und kommst danach via Voraussetzung in ein paar Schritten aus . Dann ist x Element B q.e.d. für diesen Teilschritt.