Welche Mengen werden dadurch beschrieben? Vereinigung von Intervallen.

Question

Aufgabe:

a) Sei

$$I_{k}=\left[1-\frac{1}{k}, k\right], \quad k=1,2, \ldots \ldots$$

Welche Mengen werden durch

$$I_{1} \cup I_{2}, I_{1} \cup I_{2} \cup I_{3}, \bigcup_{k=1}^{\infty} I_{k}, \mathrm{bzw} . I_{1} \cap I_{2}, I_{1} \cap I_{2} \cap I_{3}, \bigcap_{k=1}^{\infty} I_{k}$$

beschrieben?

b) Zeigen Sie durch Angabe eines passenden Gegenbeispiels, dass die folgende Aussage falsch ist:
Für die Funktion $f: \boldsymbol{R} \rightarrow \boldsymbol{R}, f(x)=x^{2}$ und Teilmengen von $A, B$ von $\boldsymbol{R}$ gilt:

$$f(A \cap B)=f(A) \cap f(B)$$

Hinweise:

1. Sie können die Mengen $A, B$ für das Gegenbeispiel als (passende) Intervalle wählen.

2. Wir betrachten das intervall $A=[2,3]$ und $f$ die oben definerte Funktion $f(x)=x^{2}$. Dann bedeutet die Notation $f(A)$ folgendes:

$$f(A)=f([2,3])=\left[2^{2}, 3^{2}\right]=[4,9]$$

Comments

Bei a) kommt meines Erachtens als Erstes das Intervall [0, ∞ ) raus.

Als Zweites die Menge, die nur den Punkt 1 enthält. Also: M = {1}

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

a) Vereinigung und Schnitt von Intervallen

Vereinigung von Intervallen

- $I_1 \cup I_2$:

$I_1 = \left[1-\frac{1}{1}, 1\right] = [0, 1]$

$I_2 = \left[1-\frac{1}{2}, 2\right] = \left[\frac{1}{2}, 2\right]$

Die Vereinigung $I_1 \cup I_2 = [0, 2]$ umfasst alle Punkte von 0 bis 2, da beide Intervalle auf diesem Bereich überlappen bzw. aneinandergrenzen.

- $I_1 \cup I_2 \cup I_3$:

$I_3 = \left[1-\frac{1}{3}, 3\right] = \left[\frac{2}{3}, 3\right]$

Die Vereinigung $I_1 \cup I_2 \cup I_3 = [0, 3]$ umfasst alle Punkte von 0 bis 3.

- $\bigcup_{k=1}^{\infty} I_{k}$:

Da für zunehmende $k$, $I_k = \left[1-\frac{1}{k}, k\right]$ rechts offen endlich bleibt und links gegen 1 konvergiert, ergibt die Vereinigung $\bigcup_{k=1}^{\infty} I_{k} = [0, \infty)$, also alle positiven Zahlen inklusive Null.

Schnitt von Intervallen

- $I_1 \cap I_2$:

Da $I_1 = [0, 1]$ und $I_2 = \left[\frac{1}{2}, 2\right]$, überlappen diese Intervalle im Bereich $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$.

- $I_1 \cap I_2 \cap I_3$:

Alle drei Intervalle überlappen im Bereich $\left[\frac{2}{3}, 1\right]$, da $I_3$ bei $\frac{2}{3}$ beginnt und bis 3 reicht.

- $\bigcap_{k=1}^{\infty} I_{k}$:

Für zunehmende $k$, wird der Startpunkt $1-\frac{1}{k}$ immer näher zu 1 und der Endpunkt $k$ wächst unendlich. Der Schnitt aller dieser Intervalle $\bigcap_{k=1}^{\infty} I_{k} = \{1\}$, da nur der Punkt 1 in allen Intervallen enthalten ist.

b) Gegenbeispiel zur angegebenen Aussage

Die Aussage, dass $f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$ für $f(x) = x^2$ und Teilmengen von $\mathbb{R}$ gilt, soll widerlegt werden.

Wir nutzen die Hinweise und wählen als Mengen $A$ und $B$:

$A = [2,3]$ und $B = [-3, -2]$

Dann gilt:

$f(A) = [2^2, 3^2] = [4, 9]$

$f(B) = [(-3)^2, (-2)^2] = [4, 9]$

Das bedeutet:

$f(A) \cap f(B) = [4, 9]$

Aber:

$A \cap B = \emptyset$ (denn A und B haben keinen Schnittpunkt, da A im positiven und B im negativen Bereich liegt)

Daraus folgt:

$f(A \cap B) = f(\emptyset) = \emptyset$ (die leere Menge, denn es gibt keine Elemente zu transformieren)

Da $f(A) \cap f(B) = [4, 9] \neq \emptyset = f(A \cap B)$, ist gezeigt, dass die Aussage $f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$ falsch ist.