Mengengleichheit beweisen (Differenzmenge)

Question

Aufgabe:

Sind \( A, B, C \) Teilmengen einer Menge \( Z \). Zeigen Sie:

1. \( (A \cup B)-(A \cap B)=(A-(A \cap B)) \cup(B-(A \cap B)) \)

Hallo,

ich weiß nicht ganz genau, wie ich diese Aufgabe bearbeiten soll, ich bin auf:

(\(A-B) \cap(B-A) \)

gekommen.

Ist das soweit richtig? Und wie kann ich zum Schluss auf (\(A-(A \cap B)) \cup(B-(A \cap B)) \) kommen?

(Das "-" soll " \" darstellen)

Danke!

Comments

(\(A-B) \cap(B-A) \)

Interessant! Das ist nämlich die leere Menge ;-)

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Oha stimmt haha

Answer 1

Für eine Menge \(P\subseteq Z\) bedeute \(\overline{P}\) ihr

Komplemement bzgl. \(Z\), also \(Z-P\).

Es gilt das Distributivgesetz

\((P\cup Q)\cap R=(P\cap R)\cup(Q\cap R)\) für Mengen \(P,Q,R\).

Daher bekommen wir

\((A\cup B)-(A\cap B)=(A\cup B)\cap (\overline{A\cap B})\)

Nun Distr. anwenden:

\(=(A\cap(\overline{A\cap B}))\cup(B\cap(\overline{A\cap B}))=\)

\(=(A-(A\cap B))\cup(B-(A\cap B))\)

Comments

Danke dir, jetzt habe ich es verstanden :)