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(a) Wenn a∈U ist, ist U • a = U.
Sei a∈U . zur Inklusion ⊆
Sei x ∈ U • a ==> Es gibt u∈U mit x = u• a
da a∈U und u∈U ist auch u• a ∈U , also x ∈ U
zu ⊇ : Sei x ∈ U
Betrachte das inverse El. a^(-1) von a,
das ja auch in U ist , und verknüpfe es mit x, dann hast du
x • a^(-1) und das ist auch in U, also ist
(x • a^(-1) )• a in U • a und wegen der
Assoziativität und der Def. des Inversen auch x ∈ U • a .
Also U = U • a
(b) Wenn b∈G\U ist, dann ist U • b ≠ U
Wähle das neutrale El. e ∈ U, dann hast du
e • b ∈. U • b also . b ∈. U • b,
aber b nicht in U.