Sei V ein C-Vektorraum, Einschränkung der Skalarmultiplikation → V Vektorraum über R → dimR(V)=2 dimC(V)

Question

Sei V ein C-Vektorraum. Dann kann man durch Einschränkung der Skalarmultiplikation V auch als Vektorraum über R auff assen. Wir nehmen an, dass V als C-Vektorraum endliche Dimension dimC(V ) besitzt. Zeigen Sie: V ist dann auch ein endlichdimensionaler R-Vektorraum der Dimension dimR(V ) = 2 dimC(V ):

Hilfestellung:

Sei v1; v2; : : : ; vn eine C-Basis von V . Finden Sie eine R-Basis von V aus doppelt so
vielen Vektoren (und zeigen Sie, dass diese wirklich eine R-Basis ist).

Comments

Versuche es mal mit der Basis

v1, i*v1, v2, i*v2, …, vn, i*vn

Jede Zahl z in C lässt sich (bekanntlich) als x + iy eindeutig in einen Real- und Imaginärteil aufteilen.

Answer 1

Um zu zeigen, dass V als R-Vektorraum endliche Dimension hat, werden wir eine R-Basis von V finden und zeigen, dass sie genau doppelt so viele Vektoren enthält wie eine C-Basis von V.

Angenommen, V hat eine C-Basis {v1, v2, ..., vn}. Dann können wir eine R-Basis von V durch die Vektoren {(v1,0), (v2,0), ..., (vn,0), (0,v1), (0,v2), ..., (0,vn)} erhalten. Diese Vektoren sind linear unabhängig und erzeugen den gesamten Vektorraum V, da jeder Vektor in V als Linearkombination dieser Vektoren dargestellt werden kann. Da es 2n Vektoren in dieser R-Basis gibt und n Vektoren in einer C-Basis, ist die Dimension von V als R-Vektorraum 2n.