Bestimmen Sie dimR(V )

Question

Aufgabe:

Sei V ein C-Vektorraum der Dimension n. Schränkt man die Skalarmultiplikation auf R ein, so wird V in natürlicher Weise ein R-Vektorraum.
Bestimmen Sie dimR(V ).

Wie kann man das zeigen?

Answer 1

Da V dim_c(V) = n, gibt es eine Basismenge {v1,...,vn}. Du kannst jetzt diese Menge darstellen als $$\sum \limits_{k=1}^{n}z_k v_k$$ mit z_k eine komplexe Zahl und z_k=x_k+iy_k    x,y ∈ ℝ.

Setze jetzt zk=xk+iyk in der obigen Summe ein und versuche durch Rechenregeln für Summen die Basismenge {v1,...,vn,iv1,...,ivn} zu bekommen (so erhältst du eine Basismenge mit 2n Elementen).

Falls du noch hilfe brauchst, schreib einfach was nicht klar ist als Kommentar. :)