Untersuchen, ob U ein C-Vektorraum oder ein R-Vektorraum ist

Question

Die Aufgabe lautet: Für eine komplexe Zahl z ∈ C, wobei z = a+ib, a, b ∈ R, definieren wir die zu z komplex
konjugierte Zahl z¯ als z¯ := a − ib.

Ferner sei
U := {f : C → C : f(z¯ ) = f(z)¯ }.

a) Untersuchen Sie, ob U ein C-Vektorraum ist.

b) Untersuchen Sie, ob U ein R-Vektorraum ist

Ich weiß leider gar nicht, wie ich daran gehe. Könnt ihr mir einen Tipp geben, wie ich daran gehen soll, bzw. einen Ansatz geben?

Ich weiß, dass ich beim R-Vektorraum nur mit reellen Zahlen multiplizieren darf

Answer 1

a) Untersuchen Sie, ob U ein C-Vektorraum ist.

Untersuche ob U jedes einzelne Vektorraumaxiom erfüllt, wenn C der zugrunde liegende Körper ist.

Beispiel. Eines der Vektorraumaxiome besagt, dass es im Vekorraum ein neutrales Element bezüglich der Addition gibt.

Sei f ∈ U. Ferner sei n: ℂ → ℂ mit n(z) = 0 für alle z ∈ ℂ.

Dann ist (f+n)(z) = f(z) + n(z) = f(z) + 0 = f(z) für alle z ∈ ℂ. Also ist f+n = f und somit ist n neutral bezüglich der Addition.

Wegen \(n(\overline{z}) = 0 = \overline{0} = \overline{n(z)}\) ist n ∈ U. Also gibt es in U ein neutrales Element bezüglich der Addition.

b) Untersuchen Sie, ob U ein R-Vektorraum ist

Untersuche ob U jedes einzelne Vektorraumaxiom erfüllt, wenn R der zugrunde liegende Körper ist.

Ich weiß, dass ich beim R-Vektorraum nur mit reellen Zahlen multiplizieren darf

Und bei C-Vektorräumen darfst du nur mit komplexen Zahlen multiplizieren.