Seien v, w zwei verschiedene Punkte des ℝ2 und L ⊆ ℝ2 die Gerade durch v und w

Question

Aufgabe:

Seien \(v\), \(w\) zwei verschiedene Punkte des ℝ² und L ⊆ ℝ² die Gerade durch \(v\) und \(w\). Zeigen Sie:$$L = \left\{ (x,\,y)\in \mathbb R^2\mid\space \det\begin{pmatrix}1&1&1\\ v_1& w_1& x\\ v_2& w_2& y\end{pmatrix} =0\right\}$$

Answer 1

Aloha :)

Eine \(n\times n\)-Determinante gibt das \(n\)-dimensionale Volumen an, das die Spalten- bzw. Zeilenvektoren aufspannen. Da \(\vec v\) und \(\vec w\) zwei verschiedene Vektoren im \(\mathbb R^2\) sind, kann der Vektor \(\binom{x}{y}\) des \(\mathbb R^2\) durch \(\vec v\) und \(\vec w\) ausgedrückt werden. Daher liegen alle 3 Spalten-Vektoren der Deterimiante in einer Ebene und es wird gar kein \(3\)-dimensionales Volumen aufgespannt. Die Determinante ist daher null.

Comments

dankeschön^^

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Daher liegen alle 3 Spalten-Vektoren der Deterimiante in einer Ebene und es wird gar kein \(3\)-dimensionales Volumen aufgespannt.

Umgekehrt wäre es passender: Damit die Determinante (bzw. das Volumen des Spats) zu 0 wird, muss der dritte Vektor eine Linearkombination der beiden ersten sein, wobei die Summe der beiden Parameter gleich 1 sein muss, um die erste Koordinatengleichung zu erfüllen - also:$$\begin{pmatrix}1\\ x\\ y\end{pmatrix} = r\begin{pmatrix}1\\ v_1\\ v_2\end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}1\\ w_1\\ w_2\end{pmatrix} \quad \implies r+s=1$$Und daraus folgt:$$\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} = (1-\lambda)\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix}w_1\\ w_2\end{pmatrix}$$und deshalb liegt \((x,\,y)\) auf der Geraden durch \(v\) und \(w\).

Answer 2

Die Determinantengleichung lautet nach der Regel von Sarrus:

w1·y + x·v2 + v1·w2 - v2·w1 - w2·x - y·v1 = 0

Eine Geradengleichung in der Punkt Steigungsform durch die Punkte V und W lässt sich schreiben als

y = (w2 - v2)/(w1 - v1)·(x - v1) + v2
y·(w1 - v1) = (w2 - v2)·(x - v1) + v2·(w1 - v1)
y·(w1 - v1) - (w2 - v2)·(x - v1) - v2·(w1 - v1) = 0
y·w1 - y·v1 + v2·x - w2·x - v1·v2 + v1·w2 + v1·v2 - v2·w1 = 0
y·w1 - y·v1 + v2·x - w2·x + v1·w2 - v2·w1 = 0

Vergleiche das jetzt mal mit obiger Determinante. Passt würde ich sagen.