Determinante von L für L = L^2

Question

Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und sei L : V → V eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft L² = L.
Zeigen Sie:
a) det(L) ∈ {0, 1}.
b) Ist λ∈K ein Eigenwert von L, so ist λ∈{0,1}.

Problem/Ansatz:

die Eigenschaft L² = 2 beschränkt die Abbildung, sodass für det(L) nur {0,1} gilt. Logisch ist mir das soweit klar, nur scheitere ich am daran dies konkret zu zeigen, da ich mir unsicher bin, wie es es konkret machen kann.

Comments

Wenn du eine Gleichheit der Form L^2=L hast, dann wende einfach mal auf beiden Seiten die Determinante an. Die Gleichheit bleibt bestehen. Dann nutze die Multiplikativität der Determinante

Answer 1

$$ \lambda v = Lv = L^2 v = \lambda^2 v $$

Answer 2

Verwende den Determinantenproduktsatz

        \(\det(A\cdot B) = \det A \cdot \det B\).

Answer 3

Für quadratische Matrizen gilt det(AB)=det(A)det(B).