Determinante und Rang berechnen. Ist die Abbildung f linear?

Question

Aufgabe H 30 - Determinante und Rang:

Für \( x \in \mathbb{R} \) sei \( A_{x}:=\left(\begin{array}{llll}2 & 2 & x & 2 \\ x & 2 & 2 & 2 \\ 2 & x & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & x\end{array}\right) \)

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \operatorname{det}\left(A_{x}\right) \). Sei \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \operatorname{Rg}\left(A_{x}\right) \)

(a) Ist die Abbildung \( f \) linear?

(b) Für welche \( x \in \mathbb{R} \) gilt \( f(x)=0 \) ?

(c) Bestimmen Sie das Bild \( \{g(x) \mid x \in \mathbb{R}\} \) von \( g \).

Answer 1

f(x) =  (x-2)^2*(x^2+4x-12) ist nicht linear, denn z.B. f(1)=-7      f(-1)=-125
aber f( 1+(-1)) = f(0) = -48 und nicht -7 + (-125)

f(x)=0
(x-2)^2*(x^2+4x-12) =0
(x-2)^2  =0     oder   (x^2+4x-12) = 0
x=2               oder x=2  oder x=-6
also gilt es für x=0 und für x=-6

muss man prüfen, was als rang rauskommen kann.

für x=2 sind alle Zeilen gleich rg=1
für x=-6 zeigt die Stufenform   rg=3
ansonsten ist det ungleich 0, also rang = 4