Aufgabe:
Sei \( f: V \rightarrow V \) ein Endomorphismus des endlich dimensionalen \( K \) Vektorraums \( V \). Sei \( U \subset V \) ein \( f \)-invarianter \( K \)-Untervektorraum (also ein \( K \)-Untervektorraum, für den \( f(U) \subset U \) gilt).
Sei \(\bar{f}: V / U \rightarrow V / U, \quad v+U \mapsto f(v)+U\) der induzierte Endomorphismus des Faktorraums \( V / U \) und sei \( \left.f\right|_{U} \) : \( U \rightarrow U \) der durch Einschränkung von \( f \) nach \( U \) erhaltene Endomorphismus von \( U \). Zeigen Sie \( \operatorname{det}(f)=\operatorname{det}(\bar{f}) \operatorname{det}\left(\left.f\right|_{U}\right) \).
Beweis:
Wir wissen, dass die Determinante der Komposition von zwei linearen Abbildungen gleich dem Produkt der Determinanten der beiden Abbildungen ist. Daher gilt:
$$ \operatorname{det}(f) = \operatorname{det}(\bar{f} \circ \pi) = \operatorname{det}(\bar{f}) \cdot \operatorname{det}(\pi) $$
wobei \(\pi: V \rightarrow V/U\) die kanonische Projektion ist. Da \(\pi\) die Dimension von \(U\) auf \(V/U\) reduziert, ist \(\operatorname{det}(\pi) = 1\). Daher folgt direkt:
$$ \operatorname{det}(f) = \operatorname{det}(\bar{f}) \cdot \operatorname{det}(\left.f\right|_U) $$
Ich bin mir nicht ganz sicher ob ich das so richtig gerechnet habe, aber nach langer Überlegung bin ich darauf gekommen. Danke für jede HIlfe!
