matrizen und inverse: spiegelung - projektion - determinante

Question

Ein Bauteil wird im R³ durch dessen Eckkoordinaten modelliert. Der i-te Spaltenvektor der Matrix B∈R^3xn trägt die x/y/z-Koordinate der i-ten Ecke. Es sei E die Ebene mit Koordinatenform x-y=0

Ermitteln Sie die Matrizen Ai ∈ R³ für

B₁ = A₁ · B ergibt sich durch die Spiegelung von B an E

B₂ = A₂ · B ergibt sich durch die senkrechte Projektion von B auf E

und ermitteln sie die determinante von A₁ und A₂

Answer 1

n Normalenvektor(normiert)

Spiegelung: Die z KO bewegt sich nicht und x tauscht mit y (GLS≔(x,y,z)− 2 (x,y,z) n *(n))

\(\small S_E \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{array}\right) \)

Det(S_E)=-1 Umkehrung des Drehsinn

Ortho Projektion (GLS F≔(x,y,z)− (x,y,z) n *(n)), P_E^2=P_E

\(\small P_E \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0\\0&0&1\\\end{array}\right)\)

Det(P_E)=0

Für eine Ursprungsebene gibt es ein x mit P_E x = 0 ==> ∃ Eigenwert 0

Comments

Kannst du mir evtl noch genauer erklären, was du da getan hast?

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Ich habe die Abbildungsvorschrift als GLS angegeben:

Abstand Punkt-Ebene-HNF

Spiegelung: x' = x - 2 (Abstand x zur Ebene) Richtung Normalenvektor

Projektion: x' = x - (Abstand x zur Ebene) Richtung Normalenvektor

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kannst du mir dasselbe nochmal damit erklären?

B₁ = A₁· B ergibt sich durch die Spiegelung von B an der xz-Ebene

B₂ = A₂ · B ergibt sich durch Rotation von B um 90° an der z-Achse

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kannst du mir sagen wie du auf die matrix kommst? also ich verstehe dass y=x eine winkelhalbierende dann ist der normalvektor (1,-1,0) und was dann? entsprechen x,y,z dann dem normalvektor?

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Ich habe die Abbildungsvorschrift als GLS angegeben:

Abstand Punkt-Ebene-HNF

Spiegelung: x' = x - 2 (Abstand x zur Ebene) Richtung Normalenvektor
xz-Ebene ===> n:=(0,1,0)
GLS≔(x,y,z)− 2 (x,y,z) (0,1,0) *((0,1,0)) = \(\small \left(x, -y, z \right)\)

Projektion: x' = x - (Abstand x zur Ebene) Richtung Normalenvektor

https://www.geogebra.org/m/fdsc4t8n

Drehungen siehe

https://www.geogebra.org/m/NXx4E8cb#material/c6Q7gDmC

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okay ja ich kann die ergebnisse irgendwie immer noch nicht nachvollziehen.. die links sind beispiele um das prinzip zu verdeutlichen? ^^

Ich habe versucht durch nachrechnen (so wie es auf dieser seite angegeben ist) auf die Matrix zu kommen aber irgendwie bekomme ich nur ganz komische zahlen ich weiß nicht was ich falsch mach

und warum ist (0,1,0) der normalvektor von y-x=0? laut google (1,-1,0)

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Die Links sind Apps mit Grundlagen-Informationen und müssen mit den entsprechenden Daten Deiner Aufgabe gefüttert werden.

>und warum ist (0,1,0) der normalvektor von y-x=0? laut google (1,-1,0)<

Vielleicht einfach mal genauer hinschauen?

Spiegelung: x' = x - 2 (Abstand x zur Ebene) Richtung Normalenvektor (normiert)

xz-Ebene ===> n:=(0,1,0)

GLS≔(x,y,z)− 2 (x,y,z) (0,1,0) *((0,1,0)) = \(\small \left(x, -y, z \right)\)

Das ganze mit n=|(1,-1,0)| durchgerechnet, und DU kommst auf die Matrizen im Ursprungspost!

Wenn Du google brauchst um den Normalenvektor von y-x=0 abzulesen, dann sollest Du erstmal Deine Vorlesungsskripte zu den Grundlagen durcharbeiten!

Ein großer google-fan kann die entsprechenden Abbildungsmatrizen auch dort nachlesen und seine Daten einsetzen...

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okay kannst du mir hier vlt auch helfen? bei der b?

https://www.mathelounge.de/857499/rang-und-inverse-einer-koeffizientenmatrix