Projektion lineare Abbildung

Question

ich habe ein Verständnisproblem mit dem Begriff der Projektion.

Eine Projektion ist nach meiner Literatur definiert als eine lineare Abbildung h: V → V mit \( h^{2} \) = h

Als Beispiel wird hier wird angegeben, dass die Abbildung h: \( R^{3} \) → \( R^{3} \) mit h(x) = A*x und A = \( \begin{pmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{pmatrix} \) eine Projektion ist.

Ich verstehe nicht warum.

h(x) ergibt einen Spaltenvektor. h(x) * h(x) kann ja dann nicht funktionieren, da h(x)*A schon nicht mehr funktionieren kann (Spaltenvektor * Matrix).

Was vernehme ich hier falsch?

Answer 1

Hier ist nicht die Multiplikation gemeint, sondern die Verkettung \(h\circ h\). Du kannst also \(Ax\) wieder problemlos in \(h\) einsetzen und dann \(h(Ax)=A\cdot Ax=A^2x\) berechnen. Um also die Eigenschaft nachzuweisen, muss \(A^2=A\) gelten.

Comments

Oh, dann macht das natürlich alles Sinn. Vielen Dank für die Hilfe.