Question

Beweisen Sie: Eine lineare Abbildung f : V → V ist genau dann eine Projektion, wenn f ◦f = f
gilt.
Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass V = ker f ⊕ f(V ) aus f ◦ f = f folgt. Beachten Sie, dass
f(x − f(x)) = · · ·

Könnte mir jemand beim lösen dieser Aufgabe behilflich sein?

Comments

Projektion, wenn f ◦f = f gilt.

Das ist gelegentlich auch die Definition von Projektion. Wie habt ihr Projektion definiert?

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Genau so. Nur muss ich jetzt quasi den Rückweg beweisen. Also von f°f = f zu V = ker f ⊕ f(V ). Nur weiß ich leider nicht. Wie das funktioniert  :(

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Lies mal die ganze Antwort von mathef.

Zudem auch https://www.mathelounge.de/70394/la-3-bild-kern-heisst-projektion-wenn-2-beh-v-bild-kern . Fertig! Oder?

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Ich hatte schon geahnt,  dass Mathef sowohl hin als auch Rückweg bewiesen hat. Bloß tuhe ich mir gerade schwer, in seinem Beweis den Anfang für den Rückweg zu finden. Kannst du mir vielleicht sagen, wo er beginnt?

Answer 1

Zeigen Sie zuerst, dass V = ker f ⊕ f(V ) aus f ◦ f = f folgt. Beachten Sie, dass
f(x − f(x)) = · · ·
Sei also f ◦ f = f  dann gilt   f(x − f(x))  wegen Linearität

= f(x) − f(f(x))  und wegen  f ◦ f = f

= f(x) - f(x) = 0

==>  Für alle x∈V ist   x-f(x) ∈  Kern(f) , also gibt es für jedes x∈V

ein y   ( Das ist dann x-f(x) )  aus  Kern(f)  mit

                    x - f(x) = y

<=>              x =   y + f(x)

also eine Summe aus Kern(f) und BIld(f).

Also V = ker(f) + f(V) .

Diese Summe ist direkt, weil die beiden Summanden nur 0

als gemeinsames Element haben.

Wäre nämlich v∈V  in   ker(f) ∩ f(V)

==>   f(v)= 0   (wegen Kern )  und es gibt w∈V mit f(w)=v (wegen Bild(f))

==>  0 =  f(v) = f(f(w))=(fof)(w) = f(w) = v

also v∈   ker(f) ∩ f(V)   ==>   v=0 ,

also Summe direkt.

Comments

Könntest du mir vielleicht noch erklären, wie dann aus  V = ker f ⊕ f(V )

f ◦ f = f folgt?

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Wir müssen nämlich auch den Rückweg zeigen :(