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Sei \( \boldsymbol{V} \) ein Vektorraum, wobei \( \operatorname{dim} \boldsymbol{V}<\infty \) nicht vorausgesetzt wird. Beweise: Eine Abbildung \( f \in \mathrm{L}(\boldsymbol{V}, \boldsymbol{V}) \) ist genau dann eine Projektion, falls \( f \) idempotent ist, d. h. \( f \circ f=f \).
Anleitung: Zeige unter der Voraussetzung \( f \circ f=f \), dass \( \boldsymbol{V}=\operatorname{ker} f \oplus f(\boldsymbol{V}) \). Rechne anschließend nach, dass \( f \) tatsächlich die Projektion in Richtung ker \( f \) auf \( f(\boldsymbol{V}) \) ist. Beachte dabei \( \boldsymbol{x}=(\boldsymbol{x}-f(\boldsymbol{x}))+f(\boldsymbol{x}) \) für alle \( \boldsymbol{x} \in \boldsymbol{V} \), wobei \( f(\boldsymbol{x}) \in f(\boldsymbol{V}) \) klar und \( \boldsymbol{x}-f(\boldsymbol{x}) \in \operatorname{ker} f \) herzuleiten ist. Für alle \( \boldsymbol{y} \in \operatorname{ker} f \cap f(\boldsymbol{V}) \operatorname{kann} \) \( \boldsymbol{o}=f(\boldsymbol{y})=\boldsymbol{y} \) bewiesen werden, indem \( \boldsymbol{y} \) in der Form \( f(\boldsymbol{v}) \) mit \( \boldsymbol{v} \in \boldsymbol{V} \) geschrieben wird.
