Sei V ein K-Vektorraum. Eine lineare Abbildung f : V → V heißt idempotent, falls f ◦ f = f

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum. Eine lineare Abbildung f : V → V heißt
idempotent, falls f ◦ f = f.
(a) Die Abbildung f in Aufgabe 2 ist idempotent.
(b) Die Abbildung g := idV −f ist idempotent, wenn f idempotent ist.
(c) Für f, g wie in (b) gilt: ker f = im g und im f = ker g.

Ergänzung:

Aufgabe 2:

Seien U, W Untervektorräume des K-Vektorraums V mit V =
U ⊕W. Weiter sei f : V → V definiert durch f(v) = u, wenn v = u+w mit u ∈ U und w ∈ W.

Answer 1

(a) Die Abbildung f in Aufgabe 2 ist idempotent.

Du muss also zeigen fof = f

bei i f : V → V definiert durch f(v) = u, wenn v = u+w mit u ∈ U und w ∈ W

hast du wegen der direkten Summe wirklich eine Abbildung; denn zu jedem v ∈ V

gibt es genau ein Paar (u,w) mit v = u+w  und es ist f(v)=u

==> (fof)(v) = f(f(v)) = f(u)  und weil u ∈ U ist ist hier die einzige

Zerlegung  bezgl. der direkten Summe  u=u+0

also f(f(v)) = f( u+0)   =  u = f(v)

Somit    (fof)(v)  =  f(v) für alle v∈V.

(b) Die Abbildung g := idV −f ist idempotent, wenn die lineare Abb. f idempotent ist.

Bew: für alle v∈V gilt:

(gog)(v) = g(g(v)) = g( v - f(v)  )  [ wegen Def. von g ]

             = g(v) - g(f(v))   [ Linearität von g ]
             = g(v) -  (  f(v) - f(f(v)) )     [ wegen Def. von g ]
           = g(v)  - f(v)  + f(f(v))    
            = g(v) - f(v) + f(v)   [ wegen Idempot. von f ]

            = g(v)    q.e.d.

(c) Für f, g wie in (b) gilt: ker f = im g und im f = ker g.

v ∈ ker f ==>   f(v)=0

             ==>   g(v) = v - 0 )

            ==>    g(v) = v

Also gilt: Es gibt ein w∈V  [ nämlich v selbst ]  mit g(w)=v

         ==>   v  ∈ im g.

zeige entsprechend  v  ∈ im g ==>  v ∈ ker f

und die zweite Gleichung.