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Aufgabe:

Forme die Parabel in die Scheitelpunktform um. y=3x^2 +9x+3

Ich soll durch 3 dividieren. Dann bin ich bei 1/3y=x^2+3x+1

Dann soll ich die Quadratische Ergänzung addieren....aber wie?

Dann Quadrat bilden.

Nach y umformen.

Scheitelpunkt notieren.

Könnt ihr mir das gut erklären? DANKE

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3x^2+9x+3 = 3(x^2+3x+1) = 3(x^2+3x+1,5^2-1,5^2+1)= 3(x+1,5)^2 - 3*1,5^2+3 = 3(x+1,5)^2-3,75

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Aloha :)

$$y=3x^2+9x+3=3\cdot\left[x^2+3x+1\right]$$

Die quadratische Ergänzung bekommst du, indem du die Zahl vor dem \(x\) halbiert und anschließend quadrierst. Hier ist sie also \(\left(\frac{3}{2}\right)^2\). Diese baust die wie folgt in die Parabel ein:

$$y=3\cdot\left[x^2+3x+\underbrace{\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2}_{0}+1\right]$$

Die quadratische Ergänzung ist genau so gewählt, dass du ein Binom bilden kannst:

$$y=3\cdot\left[\underbrace{x^2+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^2}_{=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2}\underbrace{-\left(\frac{3}{2}\right)^2+1}_{=-\frac{9}{4}+1}\right]$$Wegen \(-\frac{9}{4}+1=-\frac{5}{4}\) erhalten wir:

$$y=3\cdot\left[\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\right]$$$$y=3\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{15}{4}$$Der Scheitelpunkt ist dort, wo das Quadrat \(\left(x+\frac{3}{2}\right)^2\) zu Null wird:$$S\left(-\frac{3}{2}\;|\;-\frac{15}{4}\right)$$

~plot~ 3x^2+9x+3; [[-3,5|1|-4|3]] ~plot~

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