Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe. Hab leider noch garkein Ansatz...
Die Aufgabe:
Eine lineare Abbildung \( p: V \rightarrow V \) eines Vektorraums \( V \) in sich selbst heißt Projektion, wenn gilt \( \forall_{\vec{v} \in \mathrm{V}}: p(p(\vec{v}))=p(\vec{v}) \).
Sei \( \left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} \subset \mathbb{R}^{2} \) eine Basis des \( \mathbb{R}^{2} \). Dann lässt sich jeder Vektor \( \vec{v}=\lambda \vec{b}_{1}+\mu \vec{b}_{2} \) eindeutig linear kombinieren. Wir definieren die Abbildung \( p_{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) durch \( p_{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}}\left(\lambda \vec{b}_{1}+\mu \vec{b}_{2}\right)=\lambda \vec{b}_{1} \)
a) Zeige, dass diese Abbildung eine Projektion ist. Man nennt sie Projektion auf \( \vec{b}_{1} \) entlang von \( \vec{b}_{2} \)
b) Bestimme \( \operatorname{kern}\left(p_{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}}\right) \) und \( \operatorname{im}\left(p_{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}}\right) \)
c) Ermittle die Matrixdarstellung von \( p_{\overrightarrow{b_{1}}, \overrightarrow{b_{2}}} \) bezüglich der Basis \( \left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} \).
d) Begründe die Dimensionen von \( \operatorname{kern}\left(p_{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}}\right) \) und \( \operatorname{im}\left(p_{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}}\right) \).
