Gegeben Sei eine lineare Abbildung, die auf Projektion überprüft werden muss.

Question

Gegeben sei eine lineare Abbildung

 f: ℝ^3 —>ℝ^3 mit

f(x,y,z) := f(x,y,0)

A) überprüfen Sie, ob die lineare Abb. f eine Projektion ist.

B) Geben Sie die zur Abbildung f gehörende Abbildungsmatrix A an

C) Bestimmen Sie die Produktmatrix A^2= A•A

D) bestimmen Sie den Kern, das Bild, den Defekt und den Rang der Matrix A

Für Matrix A gilt fx)= A • x

Problem:

A) Also ich weiß, dass eine Projektions Def:

P•P=P

Aber ich weiß Allgemein nicht wie ich a) - d) beweisen soll.

Kann mir bitte jemand helfen

Answer 1

1. Du musst prüfen, dass \( f[f(x, y, z)]=f(x, y, z) \), das sollte kein Problem sein.

2. Die Spalten von A sind die Bilder \( f\left(e_{k}\right) \) der Standard-Basis \( \left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\} \) von \( \mathbb{R}^{3} \).

3. Direkte Berechnung.

\( f(x, y, 0)=(x, y, 0) \)

\( f[f(x, y, z)]=f(x, y, 0)=(x, y, 0) \)

Also ist \( f \circ f=f . \) Genaus wie \( A \cdot A=A \) ist.