Die Determinante bestimmen

Question

Die lineare Abbildung f : ℝ² → ℝ² erfülle

f(e1 + e2) = -2e1 + e2 und f(e1 - e2) = 4e1 - 5e2

f wird beschrieben von der (2,2)-Matrix A, d.h. es gilt f(x) = A(x). Bestimmen Sie A und ihre Determinante.

Meine Überlegungen hierzu:

$$ A = \begin{pmatrix}  a & b \\ c & d \end{pmatrix} = a * d - c * b $$

$$ |A| = \begin{pmatrix}  -2 & 1e2 \\ 1 & 1e1 \end{pmatrix} = -2e1 - e2 = -3e $$

$$ |A| = \begin{pmatrix}  4 & 1e2 \\ -5 & 1e1 \end{pmatrix} = 4e1 - (-5e2) = 9e $$

Ich glaube aber, dass ich hier falsch denke. Wie sieht der richtige Lösungsweg aus?

Answer 1

Die lineare Abbildung f : ℝ² → ℝ² erfülle

f(e1 + e2) = -2e1 + e2 und f(e1 - e2) = 4e1 - 5e2

f wird beschrieben von der (2,2)-Matrix A, d.h. es gilt f(x) = A(x). Bestimmen Sie A und ihre Determinante.

Die e1 und e2 sind die kanonischen Einheitsvektoren.

Für die Matrix brauchst du deren Bilder.

weil    (e1 + e2) + (e1 - e2) = 2e1 ist

e1 =   0,5*(e1 + e2) + 0,5*(e1 - e2)

also f(e1) = 0,5*(-2e1 + e2 ) + 0,5*(4e1 - 5e2)

            = - e1 + 0,5e2  + 2e1 - 2,5e2 =  e1 - 2e2

also ist die erste Spalte von A =

 1     ?
-2    ?

für die zweite Spalte brauchst du das Bild von e2, also mit dem

Ansatz    (e1 + e2) - (e1 - e2) = 2e2  hast du

e2 =   0,5*(e1 + e2) - 0,5*(e1 - e2)

also f(e2) = 0,5*(-2e1 + e2 ) - 0,5*(4e1 - 5e2)

                  = - e1 + 0,5e2  - 2e1 + 2,5e2 =  -3e1 +3e2  also A =

 1     -3
-2      3 

Comments

Wie kommt man da auf (e1 + e2) + (e1 - e2) = 2e1 ?

Ich sehe, dass das die Inhalte von f() sind, aber wieso werden diese hier addiert und warum ist das Ergebnis davon 2e1?

Die restlichen Schritte kann ich aber nachvollziehen

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Ich hol mal was weiter aus:

In der hier beschriebenen Matrix einer lin. Abb. stehen als Spalten die Bilder

der kanonischen Basisvektoren

e1= ( 1;0 )   [ eigentlich als Spalte geschrieben ] und e2 = ( 0;1)

Die hast du aber nicht gegeben, sondern du hast nur die Bilder

von   e1 + e2   und von e1 - e2.

Also musst du erst mal versuchen die kanonischen Basisvektoren

durch die gegebenen auszudrücken.

Hier konnte man das Ergebnis leicht "sehen" :

e1 =   0,5*(e1 + e2) + 0,5*(e1 - e2)

e2 =   0,5*(e1 + e2) -  0,5*(e1 - e2)

Wenn du die Klammern auflöst und alles zusammenrechnest,

wirst du sehen, dass es stimmt.

Da die Abbildung f linear ist, gilt

f(e1) =  f(   0,5*(e1 + e2) + 0,5*(e1 - e2) )

         =    f(   0,5*(e1 + e2) )    +   f(   0,5*(e1 - e2) )

        =  o,5* f ( e1 + e2)    +   o,5 *   f(e1 - e2)

 und das rote kennst du ja, das sind die inder

AufgabenStellung gegebenen Bilder, die setzt du einfach

ein und rechnest alles zusammen.