Aufgabe:
Ich habe den Vektorraum
$$ V=\{a_0\cdot x^0+a_1\cdot x^1+a_2\cdot x^2+a_3\cdot x^3: a_0,a_1,a_2,a_3\in \mathbb{R}\}\subseteq \mathbb{R}[x] $$
mit der linearen Abbildung
$$ f: \ V\rightarrow V,\ p \mapsto \ 5\cdot p-2\cdot p' $$
Ich möchte nun die Determinante det(f) ausrechnen. Würde allerdings gerne wissen, ob das so richitg ist.
Mir ist dazu folgendes bekannt:
Wenn V endlichdimensional ist, f linear und A eine Matrixdarstellung von f bzgl. Basis B ist, gilt det(f)=det(A). Bei mir ist V endlich. Ich bestimme also erstmal die Matrixdarstellung von f bzgl. einer Basis B.
Ich wähle B=(x0,x1,x2,x3) als Basis und erhalte damit die darstellende Matrix
$$ A:=M_{\mathcal{B}}^{_\mathcal{B}}(f)=\Big(x_\mathcal{B}(f(x^0)),x_\mathcal{B}(f(x^1)),x_\mathcal{B}(f(x^2)),x_\mathcal{B}(f(x^3))\Big)\\=\Big(x_\mathcal{B}(5\cdot x^0-2\cdot 0),x_\mathcal{B}(5\cdot x^1-2\cdot 1\cdot x^0),x_\mathcal{B}(5\cdot x^2-2\cdot 2\cdot x^1),x_\mathcal{B}(5\cdot x^3-2\cdot 3\cdot x^2)\Big)\\=\Big(x_\mathcal{B}(5\cdot x^0),x_\mathcal{B}(5\cdot x^1-2\cdot x^0),x_\mathcal{B}(5\cdot x^2-4\cdot x^1),x_\mathcal{B}(5\cdot x^3-6\cdot x^2)\Big)\\=\begin{pmatrix}5 & -2 & 0 & 0\\0 &5 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} $$
Dann würde ich det(A)=54 erhalten.
Stimmt hier alles?
