Wenn ich das Assoziativgesetz für die Addition nachweisen möchte, wäre dies dann so richtig:
Assoziativgesetz: (a + b) + c = a + (b + c)
Beweis: Seien a,b,c ∈ ℝ[x]≤2
also etwa a = a2*x^2 + a1*x + ao und
b = b2*x^2 + b1*x + bo und
c = c2*x^2 + c1*x + co
Denn das sind ja drei Polynome !
Und für die musst du nach der Definition der Addition der Polynome prüfen,
ob (a + b) + c = a + (b + c) gilt..
Also wende die Def. an:
a+b = (a2+b2)*x^2 + (a1+b1)*x + (ao+bo) also hast du
(a + b) + c= ((a2+b2)+c2)*x^2 + ((a1+b1)+c1)*x + ((ao+bo) +co)
entsprechend ergibt sich
a +( b + c)= (a2+(b2+c2))*x^2 + (a1+(b1+c2))*x + (ao+(bo +co) )
und die Koeffizienten sind ja reelle Zahlen, bei denen ja die
Assoziativität der Addition gilt, also stimmen die überein
(a2+b2)+c2 = a2+(b2+c2) etc.
Und wenn bei zwei Polynomen alle Koeffizienten übereinstimmen,
sind die Polynome gleich. Deshalb gilt (a + b) + c = a + (b + c) .
Also bei jedem der Axiome bedenken, dass es sich um Polynome handelt.