Vektorraum Axiome überprüfen

Question

Aufgabe:

Es sei ℝ[x]_≤2 ⊂ ℝ[x] mit n = 2 die Menge der höchstens quadratischen Polynome.

Zeigen Sie: (ℝ[x]_≤2 ,+,*) ist ein ℝ-Vektorraum indem die VR- Axiome nachgewiesen werden.

Problem/Ansatz:

Wie kann ich die Axiome jetzt nachweisen, es handelt sich ja um Polynome 0 - 2ten grades.

Wenn ich das Assoziativgesetz für die Addition nachweißen möchte, wäre dies dann so richtig:

Assoziativgesetz: (a + b) + c = a + (b + c)

a,b,c ∈ ℝ[x]_≤2

(a + b) + c = ((a + b) + c) = (a + (b + c)) = a + (b + c) 

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Wenn ich das Assoziativgesetz für die Addition nachweisen möchte, wäre dies dann so richtig:

Assoziativgesetz: (a + b) + c = a + (b + c)

Beweis: Seien a,b,c ∈ ℝ[x]≤2

also etwa  a = a2*x^2 + a1*x + ao und

                 b = b2*x^2 + b1*x + bo  und

                 c = c2*x^2 + c1*x + co

 Denn das sind ja drei Polynome ! 

Und für die musst du nach der Definition der Addition der Polynome prüfen,

ob  (a + b) + c  = a + (b + c) gilt..

Also wende die Def. an:

a+b =  (a2+b2)*x^2 + (a1+b1)*x + (ao+bo) also hast du

  (a + b) + c=  ((a2+b2)+c2)*x^2 + ((a1+b1)+c1)*x + ((ao+bo) +co)

entsprechend ergibt sich

  a +( b + c)=  (a2+(b2+c2))*x^2 + (a1+(b1+c2))*x + (ao+(bo +co) )

und die Koeffizienten sind ja reelle Zahlen, bei denen ja die

Assoziativität der Addition gilt, also stimmen die überein

(a2+b2)+c2 = a2+(b2+c2)  etc.

Und wenn bei zwei Polynomen alle Koeffizienten übereinstimmen,

sind die Polynome gleich. Deshalb gilt (a + b) + c  = a + (b + c) .

Also bei jedem der Axiome bedenken, dass es sich um Polynome handelt.

Comments

Super, danke dir!