Konvergenzradius einer harmonischen Reihe

Question

 

Sei c∈ℝ\{0}. Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe

$$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { { \left( -1 \right)  }^{ k } }{ { c }^{ 2k } }  } { x }^{ k }$$

Nach dem Wurzelkriterium erhalte ich die Harmonischen Reihe -1/c² . Doch wie mache ich nun weiter,

Comments

Warum genau soll das die

"Harmonische Reihe -1/c^2 " sein? 

Answer 1

Nach dem Wurzelkriterium erhalte ich die Harmonischen Reihe -1/c² .

Stimmt nicht ganz:  Du musst die k-te Wurzel aus dem BETRAG von a_k nehmen

Das gibt dann  1/c² .  Davon dann den lim sup für k gegen ∞, das gäbe

bei dir   wieder    1/c² , denn es hängt ja nicht von k ab.  Und dann noch

den Kehrwert bilden, also    c²   ist dann der Konv.rad.. 

Comments

Also ist der Konvergenzradius = 0 wegen c² = ∞ ?

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Nein. c ist eine Zahl, also ist auch c² eine Zahl, und diese Zahl ist der Konv.rad.

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Achso. Ich war ein bissche verwirrt, weil auf Wikipedia steht:

Und das gilt nicht mehr, da wir den Kehrwert gebildet haben, oder?