Trigonometrische und hyperbolische Funktionen in C. Bsp. Identität cosh^2(z) - sinh^2(z) = 1 zeigen.

Question

Bitte Hilfe, habe leider keinen Ansatzpunkt

Trigonometrische und hyperbolische Funktionen in C. Bsp. Identität cosh^2(z) - sinh^2(z) = 1 zeigen. 

Comments

Diese Identitäten sind eigentlich in jedem Buch zum Thema bewiesen. Sei es im Theorieteil oder bei den Musterlösungen zu den Aufgaben.

Ohne Theorie-unterlagen: Beginne mal zu googeln.

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Vom Duplikat:

Titel: Beweisen Sie fur z ∈ C die Identitat:

Stichworte: identität

Beweisen Sie fur z ∈ C die Identitat:

cosh(z)²− sinh(z)² = 1.

Könnte mir bei dem folgenden Beweis jemand helfen?

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Siehe z.B hier

https://www.mathelounge.de/449964/trigonometrische-hyperbolische-funktionen-identitat-zeigen

Answer 1

a) wird vermutlich über die zugehörigen Potenzreihen bewiesen.

danach bekommst du b) durch etwas umformen, etwa so

e^iz = cos(z) + i*sin(z)   also  e^-iz = cos(-z) + i*sin(-z) = cos(z) - i*sin(z) 

also die Summe

e^iz + e^-iz =  cos(z) + i*sin(z)   + cos(z) - i*sin(-z) =  2 cos(z)

und dann durch 2.

entsprechend für sin.

c) einfach die Definitionen von sinh und cosh einsetzen