Normierte Vektorräume. Abgeschlossene und offene Mengen, wenn f: V - > V stetig. / Mengenlehre

Question

Ich habe die Aufgabe:

Ich habe noch keine Idee, wie ich da rangehen soll. Wäre super wenn mir da jemand zumindest das Prinzip erklärt, wie ich vorgehen muss :)

Normierte Vektorräume. Abgeschlossene und offene Mengen, wenn f: V - > V stetig. / Mengenlehre

c) A ist kompakt in V ==> f(A) ist kompakt in W. 

Comments

EDIT: Bitte Text auch als Text eingeben https://www.mathelounge.de/schreibregeln . Habe die Überschrift und die Tags präzisiert. 

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ok, jetzt kann ich das nicht mehr bearbeiten, aber ich werde nächstes mal drauf achten :)
Kann mir dann trotzdem jemand helfen?

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Kann mir dann trotzdem jemand helfen?

Das wird gelegentlich geschehen. Es muss jemand sein, der sich mit normierten VR auskennt.

Ist ℝ ein normierter Vektorraum  ? Wenn ja: 

Mein Gegenbeispiel für b)

f: (-3π,3π)  -> ℝ, f(x): = sin(x) . 

Also A = (-3π,3π) offen und f(A) = [-1,1] abgeschlossen. 

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ok, das sieht sinnvoll aus. wie bist du denn darauf gekommen und wie mache ich das allgemein bei den anderen?

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niemand?                      

Answer 1

Mach doch selber mal was. Setze im ersten Durchgang wie vorgeschlagen \(V=W=\mathbb{R}\). Das gibt locker Gegenbeispiele für etliche Aussagen. Das, was dann noch uebrig bleibt, koennte richtig sein -- und muss naeher untersucht werden. Aber so weit musst Du erstmal kommen.

Comments

ok, also ich habe bisher das hier und hoffe das ist richtig:

a) ist falsch. Bsp: f(A)=e^A. Da f(ℝ)=(0,∞) ist, ist f(x) nicht abgeschlossen, auch wenn A abgeschlossen ist

b) s.o.

c) richtig, mir fehlt aber noch der Beweis

d) Eigentlich kann man doch auch hier das Beispiel aus b) nehmen. Aus

f: (-3π,3π)  -> ℝ, f(x): = sin(x) .  A = {-3π,3π) offen und f(A) = [-1,1] abgeschlossen folgt doch eigentlich direkt, dass, wenn f(A) kompakt ist, nicht auch zwingend A kompakt ist

e) Stimmt. Beweis:

Angenommen, f(A) wäre zusammenhängend, d.h. es würde eine disjunkte Vereinigung f(A)=C∪D mit nicht leeren und in f(A) offenen Mengen C und D. Dann wäre auch A=f^-1(C) ∪ f^-1(D) eine disjunkte Vereinigung von nicht leeren offenen Mengen. Das ist ein Widerspruch dazu, dass A als zusammenhängend vorausgesetzt wurde.

f) Ich habe hier noch kein Gegenbeispiel, aber auch noch keinen Beweis gefunden

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Bei (f) gibt z.B. auch wieder der Sinus ein Gegenbeispiel her.

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hatte ich auch erst gedacht, aber mir ist kein Beispiel eingefallen, was man in den Sinus einsetzen könnte, was nicht zusammenhängend ist

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f)  f(x):= sin(x)

A = [0,π] u [2π,3π]      nicht zusammenhängend

aber

f(A) = [0,1] zusammenhängend

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danke. dann brauche ich jetzt nur noch einen Beweis für die c)

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könnte mir beim Beweis für c) noch jemand helfen? komme da nicht drauf

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Stetige Funktionen bilden kompakte Mengen auf kompakte Mengen ab. Einen Beweis findest Du in Lehrbuechern, z.B. da:

https://books.google.de/books?id=GBTLBgAAQBAJ&pg=PA51

Schon selber mal auf die Idee gekommen, in eines reinzugucken?

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wenn ich eines zur Analysis hier hätte, hätte ich das wohl getan und die google suche, hat mir den von dir gegebene Link verwehrt ;)

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dann vielen Dank. Habe die Aufgabe gelöst