abgeschlossene und offene Mengen, stetige Funktionen

Question

Aufgabe:

Sei (X,d) ein metrischer Raum und f: X→ ℝ und g: X → ℝ stetig. Zeigen Sie, dass die Menge

U := {x ∈ X ι f(x) < g(x)} offen

und die Menge

A := {x ∈ X ι f(x) ≤ g(x)} abgeschlossen ist.

Problem/Ansatz:

Ich komme bei der Aufgabe leider überhaupt nicht weiter und mir fehlt selbst der Ansatz.

Answer 1

Da \(f\) und \(g\) stetig auf \(X\) sind, ist auch \(h:=g-f\) stetig.

Die Urbilder offener Mengen (bzw. abgeschlossener Mengen)

unter stetigen Abbildungen sind offen (bzw. abgeschlossen).

Es ist \(U=h^{-1}((0,\infty))\) Urbild der offenen Menge \((0,\infty)\),

analog ist \(A=h^{-1}([0,\infty))\) Urbild der abgeschlossenen Menge \([0,\infty)\).